اگر $a$ و $b$ ریشه های معادله $x^2-x-3=0$ باشد حاصل عبارت $a^4+b^2-6a-8$ را بیابید؟

Question

اگر $a$ و $b$ ریشه های معادله $x^2-x-3=0$ باشد حاصل عبارت $a^4+b^2-6a-8$ کدام است؟

Answer 1

چون $a,b$ ریشه های معادله ی $x^2-x-3=0$ هستند لذا $ab=-3$ و $a+b=1$

از طرفی چون $a^2-a-3=0$ لذا $$a^4=(a^2)^2=(a+3)^2=a^2+6a+9$$ لذا داریم: $$\require{cancel}\begin{align} a^4+b^2-6a-8&=a^2+\cancel{6a}+9+b^2-\cancel{6a}-8\\ &=(a+b)^2-2ab+1\\ &=(1)^2-2(-3)+1\\ &=8 \end{align}$$