به نام خدا.
می توانیم بنویسیم:
$z^5+az^3=-b \Longrightarrow z^3(z^2+a)=-b \Longrightarrow z^3× \overline{z}^3 (z^2+a)=-b(\overline{z}^3) \Longrightarrow( z \overline{z})^3(z^2+a)= -b(-2-2i) \Longrightarrow 8(2i+a)=2b+2bi \Longrightarrow 8a+16i-(2b+2bi)=0 \Longrightarrow (8a-2b)+(16-2b)i=0$
پس نتیجه می گیریم که $b=4a$ و $2b=16$ که نتیجه می شود $b=8$ و $a=2$ است.
اما توجه کنید که هر دو عدد $a,b$ حقیقی فرض شده اند.
فرض کنید که $a= \alpha + \beta i$ باشد و $b=x+yi$ در این صورت:
$8(2i+ (\alpha + \beta i) = (x+yi)(2+2i) \Longrightarrow 8 \alpha +8( \beta +2) i = (2x-2y)+ (2x+2y)i \Longrightarrow (8 \alpha -2x+2y) + (8\beta + 16 -2x-2y)i=0 \Longrightarrow x-y=4 \alpha , \space x+y=4 \beta + 8 $
به راحتی می توان نتیجه گرفت که :
$x=2 \alpha + 2 \beta +4 , \space y=2 \beta -2 \alpha + 4$
در این صورت تعداد زوج $(a,b)$ ها بی شمار می شود.
