چنان $a و b$ را بیابید که $z=1+i$ ریشه معادله $z^5+az^3+b=0 $ باشد.

Question

سلام$a و b$ را چنان بیابید که $z=1+i$ ریشه معادله $z^5+az^3+b=0 $ باشد. خودم z رو در معادله جایگذاری کردم و به توان رسوندم

Answer 1

به نام خدا.

می توانیم بنویسیم:

$z^5+az^3=-b \Longrightarrow z^3(z^2+a)=-b \Longrightarrow z^3× \overline{z}^3 (z^2+a)=-b(\overline{z}^3) \Longrightarrow( z \overline{z})^3(z^2+a)= -b(-2-2i) \Longrightarrow 8(2i+a)=2b+2bi \Longrightarrow 8a+16i-(2b+2bi)=0 \Longrightarrow (8a-2b)+(16-2b)i=0$

پس نتیجه می گیریم که $b=4a$ و $2b=16$ که نتیجه می شود $b=8$ و $a=2$ است.

اما توجه کنید که هر دو عدد $a,b$ حقیقی فرض شده اند. فرض کنید که $a= \alpha + \beta i$ باشد و $b=x+yi$ در این صورت:

$8(2i+ (\alpha + \beta i) = (x+yi)(2+2i) \Longrightarrow 8 \alpha +8( \beta +2) i = (2x-2y)+ (2x+2y)i \Longrightarrow (8 \alpha -2x+2y) + (8\beta + 16 -2x-2y)i=0 \Longrightarrow x-y=4 \alpha , \space x+y=4 \beta + 8 $

به راحتی می توان نتیجه گرفت که :

$x=2 \alpha + 2 \beta +4 , \space y=2 \beta -2 \alpha + 4$

در این صورت تعداد زوج $(a,b)$ ها بی شمار می شود.

Comments

با سلام به اقای @Elyas1 آیا نمیتوان مقادیر زیر را برای a , b  در نظر گرفت؟

a=0 , b=4i+4

---

@amirmahdipeyrovi علت دو تساوی را در پاسخ قرار دادم.

Answer 2

با سلام

با توجه به ریشه این معادله یعنی $z=1+i$ حال با جایگذاری مقدارِ $z$ و با فاکتور گیری از $ z^{3} $ در این معادله (برای آسان شدن محاسبه)

و پس از ساده سازی آن داریم:

$4 i^{2}+2ai-4i-2a+b=0 \Rightarrow -4+2ai-4i-2a+b=0 \Rightarrow-2+ai-2i-a+ \frac{b}{2}=0 \Longrightarrow a= \frac{4i-b+4}{2i-2} ,b=-2ai+2a+4i+4 \Longrightarrow a=0 , b=4i+4 $