سوال معادله اعداد مختلط: $z^4-1+i \sqrt{3} =0 $ را حل کنید.

Question

لطفا معادله $z^4-1+i \sqrt{3} =0 $ را حل کنید.

Answer 1

$$z^4-1+i \sqrt{3} =0 \Rightarrow z^4=1-i \sqrt{3} $$ قرار می دهیم $$w=1-i \sqrt{3} \Rightarrow \mid w \mid = \sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2 $$ و همچنین $$arg(w)=arctan( \frac{-\sqrt{3}}{1})= \frac{2\pi}{3} $$ پس جواب برابر است با $$z^4=2 e^{( \frac{2\pi}{3}+2k\pi)i} \Rightarrow z= 2^{ \frac{1}{4} } e^{( \frac{2\pi}{12}+ \frac{k\pi}{2} )i} \ \ , k=0 ,1 ,2,3 $$