در حل این سوال معادله به صورت $x^2-ax+b=0$ در نظر گرفته شده و میتوان به شکلی مشابه برای معادله سوال طرح شده نیز حل کرد
$ \alpha + \beta =a , \alpha \beta =b$
باتوجه به هندسی بودن دنباله:
$ \alpha ^2= \beta a , \beta ^2= \alpha b \Rightarrow ( \alpha \beta) ^{2}= \alpha \beta ab \Rightarrow \color{red}{a=1} $
$ \alpha ^2+\beta ^2= \beta + \alpha b \Rightarrow 1-2b=1- \alpha + \alpha b \Rightarrow 2b= \alpha (1-b) \Rightarrow \alpha = \frac{2b}{1-b} $
$ \beta =\frac{1-3b}{1-b}$
دنباله برحسب $b$ می شود:
$b , \frac{1-3b}{1-b} , \frac{2b}{1-b} , 1$
$ \frac{4b^2}{ (1-b)^{2} } =\frac{1-3b}{1-b} \Rightarrow b^2+4b-1=0 \Rightarrow \color{red} {b=-2+ \sqrt{5} یا b=-2- \sqrt{5}}$
اگر $b=-2+ \sqrt{5}$ جملات دنباله :
$ -2+ \sqrt{5} , \frac{3- \sqrt{5} }{2} , \frac{\sqrt{5}-1 }{2} ,1 $
یا اگر $b=-2- \sqrt{5}$ جملات دنباله :
$ -2- \sqrt{5} , \frac{3+ \sqrt{5} }{2} , \frac{-\sqrt{5}-1 }{2} ,1 $
