$β$ و $α$ ریشه های معادلۀ $x^2-ax+b=2$ و $\lbrace a,\alpha,b,\beta\rbrace$ تصاعد هندسی باشند، آنگاه $a$ و $b$ را بیابید.

Question

اگر $\beta$ و $\alpha$ ریشه‌های معادلۀ $ x^{2}-ax+b=2 $ باشند و اعداد $a$ و $α$ و $β$ و $b$ به‌ترتیب از راست به چپ، تصاعد هندسی تشکیل دهند، $a$ و $b$ را بیابید.

ویرایشگر: تلاشی از سوی پرسشگر نوشته نشده‌است.

Comments

AmirHosein@ جای قرار گرفتن a و b و آلفا و بتا در متن سوال و قسمت پایین با هم اختلاف دارند.

Answer 1

در حل این سوال معادله به صورت $x^2-ax+b=0$ در نظر گرفته شده و میتوان به شکلی مشابه برای معادله سوال طرح شده نیز حل کرد

$ \alpha + \beta =a , \alpha \beta =b$

باتوجه به هندسی بودن دنباله:

$ \alpha ^2= \beta a , \beta ^2= \alpha b \Rightarrow ( \alpha \beta) ^{2}= \alpha \beta ab \Rightarrow \color{red}{a=1} $

$ \alpha ^2+\beta ^2= \beta + \alpha b \Rightarrow 1-2b=1- \alpha + \alpha b \Rightarrow 2b= \alpha (1-b) \Rightarrow \alpha = \frac{2b}{1-b} $

$ \beta =\frac{1-3b}{1-b}$

دنباله برحسب $b$ می شود:

$b , \frac{1-3b}{1-b} , \frac{2b}{1-b} , 1$

$ \frac{4b^2}{ (1-b)^{2} } =\frac{1-3b}{1-b} \Rightarrow b^2+4b-1=0 \Rightarrow \color{red} {b=-2+ \sqrt{5} یا b=-2- \sqrt{5}}$

اگر $b=-2+ \sqrt{5}$ جملات دنباله : $ -2+ \sqrt{5} , \frac{3- \sqrt{5} }{2} , \frac{\sqrt{5}-1 }{2} ,1 $

یا اگر $b=-2- \sqrt{5}$ جملات دنباله : $ -2- \sqrt{5} , \frac{3+ \sqrt{5} }{2} , \frac{-\sqrt{5}-1 }{2} ,1 $

Comments

@good4us احتمالا منظورتان $\alpha\beta=b-2$ بوده‌است.

---

AmirHosein@ کاملا درسته ، من دقت نکردم و طرف دوم معادله را صفر در نظر گرفته ام