اگر $a$ و $b$ ریشههای معادلهٔ $x^2-3x+1=0$ باشند، آنگاه $\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$ را بدست آورید.

Question

در وبلاگ نمونه سوالات سمپاد و تیز هوشان (سمپاد آزمون) پرسش زیر آمده‌است.¹

اگر $a$ و $b$ ریشه‌های معادلهٔ $x^2-3x+1=0$ باشند، آنگاه $A=\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}$ را بدست آورید.

---

1. ویرایشگر: پرسش‌کننده پیوندی به صفحهٔ الکترونیکی مربوطه نیاورده‌است. ↩︎

Answer 1

اگر $x_1,x_2$ ریشه های معادله ی $ax^2+bx+c=0$ باشند آنگاه $S=x_1+x_2=\frac{-b}a $ و $P=x_1.x_2=\frac ca$ . و همچنین به راحتی می توان ثابت کرد چنانچه $x_1,x_2$ مثبت باشند آنگاه $\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{x_1+x_2-2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{S+2\sqrt P}$ .

در اینصورت در مورد مساله شما چون $\sqrt {x_1}$ و $\sqrt{x_2}$ داریم پس حتما $x_1,x_2$ مثبت بوده اند. لذا: $$\begin{align}\frac{a}{\sqrt b}+\frac b{\sqrt a}&=\frac{(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3}{\sqrt{ab}}\\ &=\frac{(\sqrt a+\sqrt b)(a+b-\sqrt{ab})}{\sqrt{ab}}\\ &=\frac{(\sqrt{S+2\sqrt P})(S-\sqrt P)}{\sqrt P}\end{align}$$

کافی است جاگذاری کرده و به دست آورید.