اگر $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ و $g(x)=\sqrt{4-x^2}$، آنگاه دامنه و ضابطهٔ $f\circ g$ را بدست آورید.

Question

اگر $f(x)=\sqrt{x^2+5}$ و $g(x)=\sqrt{4-x^2}$، آنگاه دامنه و ضابطهٔ $f\circ g$ را به‌دست آورید.

می‌دانیم که دامنهٔ $f\circ g$ به‌صورت زیر می‌باشد:

$$D_{f\circ g}=\{x\in D_g\mid g(x)\in D_f\}$$

با محاسبات جبری ساده، می‌توان فهمید که $D_f=\mathbb{R}$ و همچنین $D_g=[-2, 2]$. پس داریم:

$$D_{f\circ g}=\big\{x\in [-2, 2]\mid \sqrt{4-x^2} \in \mathbb{R}\big\}=\boxed{[-2, 2]}$$

پس دامنهٔ $f\circ g$ برابر با بازهٔ $[-2, 2]$ است. برای به‌دست آوردن ضابطهٔ آن نیز داریم:

$$(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=f\bigg(\sqrt{4-x^2}\bigg)=\sqrt{\bigg(\sqrt{4-x^2}\bigg)^2+5}=\sqrt{4-x^2+5}=\boxed{\sqrt{9-x^2}}$$

پس ضابطهٔ $f\circ g$ برابر با $\sqrt{9-x^2}$ است. دامنهٔ این تابع باید طبق چیزی که به‌دست آورده بودیم، $[-2, 2]$ باشد، اما چنین نیست و دامنهٔ آن $[-3, 3]$ است! مشکل دقیقاً از کجاست؟

Comments

@A-math-lover
ضابطه تابع $f \circ g$ به شکل $ \sqrt{9-x^2}$ است که در آن $x$ باید در بازه  $[-2,2]$ باشد. پس مشکلی در پاسختان وجود ندارد.

---

@Elyas1 با سلام و درود. متشکرم از توجه‌تان.
خیر برای مثال در ضابطهٔ تابع $f\circ g$، اگر $x$ برابر با ۳ باشد نیز مشکلی وجود ندارد و تابع تعریف شده و برابر با ۰ می‌شود و این یعنی دامنهٔ تابع، بازهٔ $[-2,2]$ نمی‌تواند باشد و بزرگتر از این بازه است. در حالتی که از قبل دامنهٔ آن را بازهٔ $[-2,2]$ به‌دست آورده بودیم. سؤال این است که چرا دامنهٔ آن قبل از محاسبهٔ ضابطهٔ تابع، بازهٔ $[-2,2]$ به‌دست آمده بود، اما وقتی ضابطهٔ تابع را محاسبه کردیم و دامنه را از روی آن به‌دست آوردیم، دامنه‌ای متفاوت به‌دست آمد در حالی که قاعدتاً نباید بین پاسخ این دو روش تفاوتی وجود داشته باشد.

Answer 1

تابع $h:[-3,3] \rightarrow R$ با ضابطه $h(x)= \sqrt{9-x^2} $ را در نظر بگیرید. ترکیب دو تابع $fog$ که نوشته اید بدین شکل است $fog:[-2 , 2] \rightarrow R$ با ضابطه $fog = \sqrt{9-x^2} $. چیزی که شمارا به اشتباه انداخته این است که فکر می کنید چون ضابطه این دو تابع یکی است لذا باید دامنه آن ها هم برابر باشد. این نادرست است. توجه کنید که این دو تابع مساوی هم نیستنند چرا که دامنه یکسانی ندارند.