با فرض $(f\circ g)(x)=x^2+2x-3$ و $f(x)=x^2+2x$، ضابطهٔ $g(x)$ را بیابید.

Question

اگر داشته باشیم $(f\circ g)(x)=x^2+2x-3$ و $f(x)=x^2+2x$، آنگاه ضابطهٔ تابع $ g(x)$ را بیابید. این سوال در قسمت ترکیب توابع حسابان یازدهم مطرح شده است.

Comments

مطمئنی صورت مساله ت درسته؟ با این شرایط ظاهرا تابعی نمی شه نوشت. البته فعلا من فقط تابع خطی رو بررسی کردم

Answer 1

توجه کنید که $$f(x)+1=(x+1)^2\Longrightarrow x=\pm(\sqrt{f(x)+1}-1)$$ اگر $f\Big(g(x)\Big)$ برابر شده‌باشد با $x^2+2x-3$، آنگاه کافیست به جای $x$ و $f(x)$ در رابطهٔ آخر خط پیشین به‌ترتیب قرار دهیم $g(x)$ و $x^2+2x-3$. پس $$g(x)=\sqrt{x^2+2x-2}-1$$

می‌توانید پاسخ بدست‌آمده را امتحان کنید. $$\begin{array}{ll} f\circ g(x) & =f\big(g(x)\big)\\ & = f(\sqrt{x^2+2x-2}-1)\\ & =(\sqrt{x^2+2x-2}-1)^2+2(\sqrt{x^2+2x-2}-1)\\ & = x^2+2x-2+1-2\sqrt{x^2+2x-2}+2\sqrt{x^2+2x-2}-2\\ & = x^2+2x-3 \end{array}$$