به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+6 امتیاز
511 بازدید
در دبیرستان توسط zh (1,192 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

می‌گوییم تابع حقیقی $f$ تابع $g$ را تولید می‌کند و با نماد $f\rightarrow g$ نمایش می‌دهیم، اگر $g$ از ترکیب چند بارهٔ $f$ با خودش بدست آید. یعنی عدد طبیعیِ $k$ای موجود باشد به طوری که

$$\underset{\text{ مرتبه }k}{\underbrace{f\circ f\circ \dots\circ f}} =g $$

به دنبال یافتن خواصی برای این رابطه هستیم. مثلا به آسانی می‌توان ثابت کرد این که اگر داشته‌باشیم $f\rightarrow g$ و $g\rightarrow h$، آنگاه داریم $f\rightarrow h$. اکنون ویژگی‌های زیر را ثابت کنید.

الف) دو تابع حقیقی $f\neq g$ مثال بزنید که هر دوی $f\rightarrow g$ و $g\rightarrow f$ برقرار باشند.

ب) آیا تابع $g$ای وجود دارد که هیچ تابعی جز خودش آن را تولید نکند؟

پ) ثابت کنید به ازای هر تابع حقیقی $f$ای تعداد متناهی تابع $g$ وجود دارد که هر دوی $f\rightarrow g$ و $g\rightarrow f$ برقرار باشند.

ت) آیا تابع $f$ای وجود دارد که دو تابعِ $x^3$ و $x^5$ را تولید کند؟

توسط admin (1,740 امتیاز)
+2
سوال از کجاس؟ میشه لطفا مرجع بدید؟
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
+2
درسته سخت بود ولی کاشکی تایپش می کردید و سوالات رو جدا مینوشتید حداقل هر دوتا رو تو یک سوال می آوردید.
توسط admin (1,740 امتیاز)
+2
دقیقا با erfanm موافقم. اگه تایپ بشه خیلی بهتره.
توسط zh (1,192 امتیاز)
راستش سوالو یکی از همکارام بهم داده. نمیدونم ایشون از کجا آوردن.  چون پاسخ مربوط به مسئله المپیاد رو مینوشتم حوصله ام نشد بنویسم ولی سعی میکنم حتما تایپش کنم.

1 پاسخ

+2 امتیاز
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

جواب الف) تابع $ f$ را اینطوری تعریف میکنیم برای تمام نقاط غیر از $1$، $2$ و $3$ تابع ثابت صفر و $ f(2)=3 $ ، $f(1)=2 $ و $f(3)=1 $ آنگاه $ f $ و $g= fof $ جواب مساله هستند. یعنی

$$ f(x )=\begin{cases}2 & x = 1\\3 & x = 2\\1 & x= 3\\0 & \text{o.w.}\end{cases} $$ $$ g(x)=fof(x)=\begin{cases}3 & x = 1\\1 & x = 2\\2 & x= 3\\0 & \text{o.w.}\end{cases} $$

لذا طبق تعریف تابع $ f$ تابع $ g$ رو تولید میکند. یا $ f \rightarrow g $ حال داریم

$$ f(x )=gog(x)=\begin{cases}2 & x = 1\\3 & x = 2\\1 & x= 3\\0 & O.W\end{cases} $$

لذا طبق تعریف تابع $ g$ تابع $ f$ رو تولید میکند. یا $ g \rightarrow f $

جواب ت) تعریف میکنیم:

$$ f(x )=\begin{cases} \frac{1}{ x^{9} } & \mid x \mid > 1\\ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } & \mid x \mid < 1\\1 & x= 1\\-1 & x= -1\end{cases} $$

بوضوح داریم:

$$ x^{3} =fof $$

برای $ x^{5} $ همون تابع بالا که توان بجای $9 $برابر $15$ باشه جواب است

جواب پ) برای تابع $ f $ فرض $ g \rightarrow f $ و$ g \rightarrow f $ لذا طبق تعریف داریم:

$$ g= \underbrace{fofo...of} _{k} $$

و

$$ f= \underbrace{gogo...og}_{t} $$

لذا

$$ f= \underbrace{fofo...of}_{kt} \qquad\text{ (1) }$$

لذا حداکثر تعداد $ g $ های مختلف به اندازه ی $kt $ است. چون اگر داشته باشیم:

$$ g= \underbrace{fofo...of} _{s} $$

که در آن $s>kt $ با تقسیم $ s $ بر $kt $ و جایگذاری رابطه ی $(1)$ تابع $g $ را برحسب ترکیب تعدادی کمتر از$kt $ تا $ f $ نوشت. لذا تعداد تابع های مختلف$g $ حداکثر $kt $ تا است.

چون تابع $ g $ توسط $f $ تولید می شود لذا یا داریم $g=f $ یا $ g=fof$ یا... $g= \underbrace{fofo...of} _{kt-1} $ و از این بیشتر نداریم چون اگر $ g $ ترکیب تعداد بیشتری از $f $ باشد با استفاده از رابطه ی $(1)$ میتوان بجای هر دسته ی $kt$ تایی از ترکیبات $f $ فقط یک $f $ قرار دهیم.

توسط erfanm (13,856 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
تابع زیر رو در نظر بگیرید فکر کنم تابعی که مثال دادید رو تولید میکنه
$ f(x )=\begin{cases}x-[x] & x > 1\\1  & x = \frac{a}{b}  \leq  1\\0 & x  \neq  \frac{a}{b}  <  1\\\end{cases}   $
توسط zh (1,192 امتیاز)
+1
بله حق با شماست. g، fof رو تولید میکنه.
توسط zh (1,192 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+1
ببخشید قسمت آخر اثبات پ رو خوب متوجه نشدم. اگه ممکنه یه کم بیشتر توضیح بدین.
توسط erfanm (13,856 امتیاز)
توضیحی رو به آخر اثبات اضافه کردم اگر باز هم گنگ بود بفرمایید تا توضیح بدم.
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
@zh دیدگاه نخست‌تان شما تابع $f$تان خود تابع $g$ است در حالی که در متن پرسش قسمت (الف) صریحا گفته‌شده‌است $f\neq g$ پس این مثال‌تان پاسخی برای آن نمی‌شود.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...