ثابت کنید که برای هر تابع $f$ای تعداد تابع های $g$ای که در رابطهٔ $g=f\circ f\circ\dots\circ f$ و $f=g\circ\dots\circ g$ صدق کنند متناهی است.

Question

می‌گوییم تابع حقیقی $f$ تابع $g$ را تولید می‌کند و با نماد $f\rightarrow g$ نمایش می‌دهیم، اگر $g$ از ترکیب چند بارهٔ $f$ با خودش بدست آید. یعنی عدد طبیعیِ $k$ای موجود باشد به طوری که

$$\underset{\text{ مرتبه }k}{\underbrace{f\circ f\circ \dots\circ f}} =g $$

به دنبال یافتن خواصی برای این رابطه هستیم. مثلا به آسانی می‌توان ثابت کرد این که اگر داشته‌باشیم $f\rightarrow g$ و $g\rightarrow h$، آنگاه داریم $f\rightarrow h$. اکنون ویژگی‌های زیر را ثابت کنید.

الف) دو تابع حقیقی $f\neq g$ مثال بزنید که هر دوی $f\rightarrow g$ و $g\rightarrow f$ برقرار باشند.

ب) آیا تابع $g$ای وجود دارد که هیچ تابعی جز خودش آن را تولید نکند؟

پ) ثابت کنید به ازای هر تابع حقیقی $f$ای تعداد متناهی تابع $g$ وجود دارد که هر دوی $f\rightarrow g$ و $g\rightarrow f$ برقرار باشند.

ت) آیا تابع $f$ای وجود دارد که دو تابعِ $x^3$ و $x^5$ را تولید کند؟

Comments

سوال از کجاس؟ میشه لطفا مرجع بدید؟

---

درسته سخت بود ولی کاشکی تایپش می کردید و سوالات رو جدا مینوشتید حداقل هر دوتا رو تو یک سوال می آوردید.

---

دقیقا با erfanm موافقم. اگه تایپ بشه خیلی بهتره.

---

راستش سوالو یکی از همکارام بهم داده. نمیدونم ایشون از کجا آوردن.  چون پاسخ مربوط به مسئله المپیاد رو مینوشتم حوصله ام نشد بنویسم ولی سعی میکنم حتما تایپش کنم.

Answer 1

جواب الف) تابع $ f$ را اینطوری تعریف میکنیم برای تمام نقاط غیر از $1$، $2$ و $3$ تابع ثابت صفر و $ f(2)=3 $ ، $f(1)=2 $ و $f(3)=1 $ آنگاه $ f $ و $g= fof $ جواب مساله هستند. یعنی

$$ f(x )=\begin{cases}2 & x = 1\\3 & x = 2\\1 & x= 3\\0 & \text{o.w.}\end{cases} $$ $$ g(x)=fof(x)=\begin{cases}3 & x = 1\\1 & x = 2\\2 & x= 3\\0 & \text{o.w.}\end{cases} $$

لذا طبق تعریف تابع $ f$ تابع $ g$ رو تولید میکند. یا $ f \rightarrow g $ حال داریم

$$ f(x )=gog(x)=\begin{cases}2 & x = 1\\3 & x = 2\\1 & x= 3\\0 & O.W\end{cases} $$

لذا طبق تعریف تابع $ g$ تابع $ f$ رو تولید میکند. یا $ g \rightarrow f $

جواب ت) تعریف میکنیم:

$$ f(x )=\begin{cases} \frac{1}{ x^{9} } & \mid x \mid > 1\\ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } & \mid x \mid < 1\\1 & x= 1\\-1 & x= -1\end{cases} $$

بوضوح داریم:

$$ x^{3} =fof $$

برای $ x^{5} $ همون تابع بالا که توان بجای $9 $برابر $15$ باشه جواب است

جواب پ) برای تابع $ f $ فرض $ g \rightarrow f $ و$ g \rightarrow f $ لذا طبق تعریف داریم:

$$ g= \underbrace{fofo...of} _{k} $$

و

$$ f= \underbrace{gogo...og}_{t} $$

لذا

$$ f= \underbrace{fofo...of}_{kt} \qquad\text{ (1) }$$

لذا حداکثر تعداد $ g $ های مختلف به اندازه ی $kt $ است. چون اگر داشته باشیم:

$$ g= \underbrace{fofo...of} _{s} $$

که در آن $s>kt $ با تقسیم $ s $ بر $kt $ و جایگذاری رابطه ی $(1)$ تابع $g $ را برحسب ترکیب تعدادی کمتر از$kt $ تا $ f $ نوشت. لذا تعداد تابع های مختلف$g $ حداکثر $kt $ تا است.

چون تابع $ g $ توسط $f $ تولید می شود لذا یا داریم $g=f $ یا $ g=fof$ یا... $g= \underbrace{fofo...of} _{kt-1} $ و از این بیشتر نداریم چون اگر $ g $ ترکیب تعداد بیشتری از $f $ باشد با استفاده از رابطه ی $(1)$ میتوان بجای هر دسته ی $kt$ تایی از ترکیبات $f $ فقط یک $f $ قرار دهیم.

Comments

تابع زیر رو در نظر بگیرید فکر کنم تابعی که مثال دادید رو تولید میکنه
$ f(x )=\begin{cases}x-[x] & x > 1\\1  & x = \frac{a}{b}  \leq  1\\0 & x  \neq  \frac{a}{b}  <  1\\\end{cases}   $

---

بله حق با شماست. g، fof رو تولید میکنه.

---

ببخشید قسمت آخر اثبات پ رو خوب متوجه نشدم. اگه ممکنه یه کم بیشتر توضیح بدین.

---

توضیحی رو به آخر اثبات اضافه کردم اگر باز هم گنگ بود بفرمایید تا توضیح بدم.

---

@zh دیدگاه نخست‌تان شما تابع $f$تان خود تابع $g$ است در حالی که در متن پرسش قسمت (الف) صریحا گفته‌شده‌است $f\neq g$ پس این مثال‌تان پاسخی برای آن نمی‌شود.