اگر معادله یک جواب مانند f داشته باشد برای هر مقدار ثابت C ، f+C نیز یک جواب دیگر معادله است.از طرفی دیگر تابع ساختاری شبیه تابع لگاریتمی دارد.(Lnx^2=2Lnx) بنابر این حدس می زنیم که:
f(x)=aLng(x) \Rightarrow aLng(x^2)-aLng(x)=1 \Rightarrow aLn \frac{g(x^2)}{g(x)} =1
Ln \frac{g(x^2)}{g(x)} = \frac{1}{a} \Rightarrow \frac{g(x^2)}{g(x)} =e^ \frac{1}{a} \Rightarrow g(x^2)=e^ \frac{1}{a} g(x)
حالا متوجه می شویم که تابع g هم ساختار تابع لگاریتمی را دارد.فرض کنید:
g(x)=bLnx \Rightarrow bLnx^2=e^ \frac{1}{a} bLnx \Rightarrow e^ \frac{1}{a} =1 \Rightarrow a= \frac{1}{Ln2}
\Rightarrow f(x)= \frac{Ln(bLn(x))}{Ln2}= \frac{Lnb+Ln(Ln(x)) }{Ln2}=\frac{Lnb }{Ln2}+\frac{Ln(Ln(x)) }{Ln2}
بنابر این تابع f به صورت زیر است:
f(x)=\frac{Ln(Ln(x)) }{Ln2}+C,C \in R
البته توجه داریم که این استدلال یک سری جواب را حدس زده و ممکن است توابعی دیگر هم باشند که جواب معاله باشند.
\Box
