اگر معادله یک جواب مانند $f$ داشته باشد برای هر مقدار ثابت $C$ ، $f+C$ نیز یک جواب دیگر معادله است.از طرفی دیگر تابع ساختاری شبیه تابع لگاریتمی دارد.($Lnx^2=2Lnx$) بنابر این حدس می زنیم که:
$f(x)=aLng(x) \Rightarrow aLng(x^2)-aLng(x)=1 \Rightarrow aLn \frac{g(x^2)}{g(x)} =1$
$Ln \frac{g(x^2)}{g(x)} = \frac{1}{a} \Rightarrow \frac{g(x^2)}{g(x)} =e^ \frac{1}{a} \Rightarrow g(x^2)=e^ \frac{1}{a} g(x)$
حالا متوجه می شویم که تابع $g$ هم ساختار تابع لگاریتمی را دارد.فرض کنید:
$g(x)=bLnx \Rightarrow bLnx^2=e^ \frac{1}{a} bLnx \Rightarrow e^ \frac{1}{a} =1 \Rightarrow a= \frac{1}{Ln2} $
$\Rightarrow f(x)= \frac{Ln(bLn(x))}{Ln2}= \frac{Lnb+Ln(Ln(x)) }{Ln2}=\frac{Lnb }{Ln2}+\frac{Ln(Ln(x)) }{Ln2}$
بنابر این تابع $f$ به صورت زیر است:
$f(x)=\frac{Ln(Ln(x)) }{Ln2}+C,C \in R$
البته توجه داریم که این استدلال یک سری جواب را حدس زده و ممکن است توابعی دیگر هم باشند که جواب معاله باشند.
$ \Box $
