در سؤال بهجای $x$، مقدار $\frac{x-1}x$ را جایگذاری میکنیم. لذا داریم:
$$f\bigg(\frac{x-1}x\bigg)+f\bigg( \frac{ \frac{x-1}{x}-1}{ \frac{x-1}{x}} \bigg)=\frac{x-1}{x}+1\\ \Rightarrow f\bigg(\frac{x-1}x\bigg)+f\bigg( \frac{1}{1-x}\bigg)= \frac{2x-1}{x} \ \ \ (1) $$
سپس از تغییر متغیر $u=\frac{x-1}x$، بهدست میآید که $x= \frac{1}{1-u}$ و با جایگذاری در معادلۀ دادهشده داریم:
$$f( \frac{1}{1-u} )+f(u)= \frac{2-u}{1-u} $$ با تغییر متغیر $u=x$، رابطۀ شمارۀ $ (2) $ بهدست میآید: $$f( \frac{1}{1-x} )+f(x)= \frac{2-x}{1-x} \ \ \ (2)$$
حال رابطۀ دادهشده در صورت سؤال را با رابطۀ $ (2) $ جمع میکنیم. لذا داریم:
$$ 2f(x)+ f(\frac{x-1}x)+f( \frac{1}{1-x} )=\frac{2-x}{1-x}+(x+1)$$
حال با جایگذاری معادلۀ شمارۀ $(1)$ داریم:
$$ 2f(x)+\frac{2x-1}{x} =\frac{2-x}{1-x}+(x+1) \\ \Rightarrow 2f(x)=\frac{2-x}{1-x}+(x+1)-\frac{2x-1}{x} $$
