به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+1 امتیاز
92 بازدید
در دبیرستان توسط رها (1,177 امتیاز)
ویرایش شده توسط fardina

$f( \frac{ \sqrt{x}-1 }{ \sqrt[4]{x} } )= \frac{ \sqrt[3]{x}+1 }{ \sqrt[6]{x} }$

در اینصورت مقدار عبارت زیر چقدر است؟

$f(14)=?$

1 پاسخ

0 امتیاز
توسط قاسم شبرنگ (3,120 امتیاز)
ویرایش شده توسط قاسم شبرنگ

قرار دهید:

$u:=x^ \frac{1}{12} (?) \Rightarrow x=u^{12}$

$f( \frac{ \sqrt{u^{12}} -1}{ \sqrt[4]{u^{12}} } )= \frac{ \sqrt[3]{u^{12}} +1}{ \sqrt[6]{u^{12}} } \Rightarrow f( \frac{u^6-1}{u^3} )= \frac{u^4+1}{u^2} \Rightarrow f(u^3- \frac{1}{u^3} )=u^2+\frac{1}{u^2} $

حالا قرار دهید:

$s:=u^3- \frac{1}{u^3} ,A:=f(s)=u^2+\frac{1}{u^2} $

$ \Rightarrow A^3=(u^2+\frac{1}{u^2})^3=u^6+3(u^2+\frac{1}{u^2})+ \frac{1}{u^6}=u^6+ \frac{1}{u^6} +3(u^2+\frac{1}{u^2}) $

$=(u^3)^2+( \frac{1}{u^3} )^2+3(u^2+\frac{1}{u^2})=(u^3-\frac{1}{u^3})^2+2+3(u^2+\frac{1}{u^2})=s^2+2+3A$

$ \Rightarrow A^3-3A=s^2+2$

در اینجا ما داریم:

$s=14$

پس کافیست معادله

$A^3-3A=2018$

را حل کنیم تا $A$ به دست آید.

این هم حالتی خاص از معادلۀ درجه $3$ است که قرنها پیش کاردانو ریاضیدان بزرگ ایتالیایی با خواندن دستنوشته های دوستش که قرار نبود چاپشان کند (اما چاپشان کرد) حل را برای ما آسان کرد.حل را بر عهده خوانند می گذاریم.

$ \Box $


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...