قرار دهید:
$u:=x^ \frac{1}{12} (?) \Rightarrow x=u^{12}$
$f( \frac{ \sqrt{u^{12}} -1}{ \sqrt[4]{u^{12}} } )= \frac{ \sqrt[3]{u^{12}} +1}{ \sqrt[6]{u^{12}} } \Rightarrow f( \frac{u^6-1}{u^3} )= \frac{u^4+1}{u^2} \Rightarrow f(u^3- \frac{1}{u^3} )=u^2+\frac{1}{u^2} $
حالا قرار دهید:
$s:=u^3- \frac{1}{u^3} ,A:=f(s)=u^2+\frac{1}{u^2} $
$ \Rightarrow A^3=(u^2+\frac{1}{u^2})^3=u^6+3(u^2+\frac{1}{u^2})+ \frac{1}{u^6}=u^6+ \frac{1}{u^6} +3(u^2+\frac{1}{u^2}) $
$=(u^3)^2+( \frac{1}{u^3} )^2+3(u^2+\frac{1}{u^2})=(u^3-\frac{1}{u^3})^2+2+3(u^2+\frac{1}{u^2})=s^2+2+3A$
$ \Rightarrow A^3-3A=s^2+2$
در اینجا ما داریم:
$s=14$
پس کافیست معادله
$A^3-3A=2018$
را حل کنیم تا $A$ به دست آید.
این هم حالتی خاص از معادلۀ درجه $3$ است که قرنها پیش کاردانو ریاضیدان بزرگ ایتالیایی با خواندن دستنوشته های دوستش که قرار نبود چاپشان کند (اما چاپشان کرد) حل را برای ما آسان کرد.حل را بر عهده خوانند می گذاریم.
$ \Box $
