ابتدا صورت مساله رو از نو بازنویسی می کنم:
با داشتن $f( \frac{x-1}{x+1} )= x^{2}-3x $ مطلوب است محاسبه $f(x)$
برای حل من مقدار $ \frac{x-1}{x+1} $ رو برابر با p می گیرم. یعنی داریم:
$p= \frac{x-1}{x+1} $ اینرو به عنوان معادله شماره 1 در نظر می گیریم.
حالا سعی می کنم x رو بر حسب p بنویسم. پس روی همین معادله سطر بالا کار می کنم:
$ p= \frac{x-1}{x+1} \Rightarrow px+p=x-1 \Rightarrow px-x=-p-1 \Rightarrow $
$x(p-1)=-(p+1) \Rightarrow x= \frac{p+1}{1-p} $
$x= \frac{p+1}{1-p}$این هم به عنوان معادله دوم
بر اساس معادله یک می تونم صورت مساله ام رو به صورت زیر بنویسم:
$f(p)= x^{2}-3x $
و حالا با جایگذاری نتیجه معادله دوم در ادامه خواهم داشت:
$f(p)=( \frac{1+p}{1-p} )^{2}-3( \frac{1+p}{1-p} )\Rightarrow f(p)= \frac{ (1+p^{2}) -3(1- p^{2} )}{(1-p) ^{2} }= \frac{1+ p^{2}+2p-3+3 p^{2} }{(1-p) ^{2}} = \frac{4 p^{2}+2p-2 }{(1-p) ^{2}} $
حال کافیست به جای p از x استفاده کنیم:
$f(x)= \frac{4 x^{2}+2x-2 }{(1-x) ^{2} } $
