آیا اگر تابع $f(x)$ افزایشی باشد، آنگاه تابع های $f(-x)$ و $-f(x)$ کاهشی خواهندبود؟

Question

آیا جمله‌ٔ زیر صحیح است؟

«اگر تابع $f(x)$ افزایشی (صعودی) باشد، آنگاه تابع‌های $f(-x)$ و $-f(x)$ کاهشی (نزولی) خواهندبود. همین جمله با جابجا کردن واژه‌های افزایشی و کاهشی نیز برقرار است.»

اگر تابع‌ها یکنوایِ اکید باشند باز هم جمله‌ٔ بالا درست است؟

Answer 1

تابع $G(x)=F(-x)$ نزولی است زیرا اگر $x < y$ آنگاه $-x > -y$ و چون $F$ تابع صعودی است پس $F(-x) \geq F(-y)$ بنابراین $G(x) \geq G(y)$ پس تابع $G(x)=F(-x)$ نزولی است . در مورد تابع $H(x)=-F(x)$ نیز به همین شیوه عمل می کنیم . اگر $x < y$ چون تابع $F$ صعودی است پس $F(x) \leq F(y)$ پس $-F(x) \geq -F(y)$ بنابراین $H(x) \geq H(y)$ در نتیجه تابع $H $ نزولی است .

اگر $F$ نزولی باشد حکم به طور مشابه ثابت می شود .

در مورد اکیدا یکنوا بودن نیز احکام صحیح هستند .