اگر $f( \sin x ) + 2f( \cos x ) = 2 \sin^{2}x$ ، مطلوب است $f(x )$

Question

باسلام و خسته نباشید، اگر $ f( \sin x ) + 2f( \cos x ) = 2\sin^2 x $، مطلوب است ضابطه$ f(x) $. ممنون می‌شوم پاسخ دهید.

Comments

لطفا بررسی کنید آیاصورت سوال را که تصحیح کردم مورد نظر شماست؟

---

بله، ممنون از تصحیحتان.

Answer 1

بازنویسی صورت مساله به علت اشکال در تایپ ریاضی: $f(sinx)+2f(cosx)=2 sin^{2}x $

ابتدا برای اینکه بتوانیم از پیچیدگی های توابع مثلثاتی خلاص بشیم با یک تغییر متغیر ساده تابع را ساده سازی می کنیم.

من به جای x مقدار $arcsin(x)$ رو قرار می دم. دوستان دبیرستانی که احیانا با این تابع آشنا نباشند مطلع باشند این همان معکوس تابع سینوس است. لذا با این جایگزاری این مقدار به جای x خواهیم داشت:

$ f(sin(arcsin(x)))+2f(cos(arcsin(x)))=2 sin^{2}(arcsin(x)) $

می دانیم $ sin(arcsin(x))=x $ و همچنین $cos(arcsin(x))= \sqrt{1- x^{2} } $

پس این مقادیر را جایگذاری می کنیم. خواهیم داشت:

$ f(x)+2f(\sqrt{1- x^{2} })=2 x^{2} $ عبارت شماره یک

خوب حالا که مساله پیچیدگی های مثلثاتی خودش رو از دست داد فرض رو بر این می گیرم که جواب یک تابع درجه 2 باید باشه. (بدیهی است که تابع نمی تواند درجه یک باشد. چون اونوقت سمت چپ خروجی رادیکالی خواهد داشت. به همین خاطر حدس می زنم که تابع درجه دو باشه تا متغیر تابع دوم که رادیکالی هست با به توان 2 رسیدن حذف بشه).

بنابراین فرض می گیرم که تابع مد نظر من (همون تابع f) باید به صورت $a x^{2}+bx+c $ باشه. اما از اونجا که bx بخاطر وجود متغیر رادیکالی در تابع دوم در سمت چپ معادله برای من یک عبارت رادیکالی تولید خواهد کرد مقدار b رو برابر 0 می گیرم. بنابراین تابع مد نظر من باید به شکل $a x^{2}+c $ باشه.

همین حدسم رو در تابع f جایگذاری می کنم. خواهیم داشت:

$ f(x)+2f(\sqrt{1- x^{2} })=2 x^{2} \Rightarrow $

به جای $f(x)$ می زارم $a x^{2}+c $

$a x^{2}+c+2(a ( \sqrt{1- x^{2} } )^{2}+c )=a x^{2}+c+2a-2a x^{2} +2c=-a x^{2}+2a+3c $

خوب این مقدار رو با سمت راست معادله شماره یک که در بالا به دست اوردیم برابر می زاریم:

$ -a x^{2}+2a+3c=2 x^{2} $

از برابری ضریب $ x^{2} $ در دو طرف معادله نتیجه می گیریم که $a=-2$ و با جایگذاری $a=-2$ در ادامه معادله و برابر گرفتن مقادیر c در دو طرف معادله (توجه کنید که c در سمت راست معادله شماره یک برابر 0 است ) نتیجه می گیریم که $c= \frac{4}{3} $

در نتیجه تابع f به صورت زیر است:

$f(x)=-2 x^{2}+ \frac{4}{3} $

• برای حل این مساله شما حتما باید با توابع معکوس آشنا باشید که جزو دروس دبیرستانی دانش آموزان است. نسبت به استفاده از arcsin حساس نشوید. همانطور که توضیح دادم arcsin همان معکوس تابع sin است. که می توانید به جای آن در حل مساله از $ sin^{-1} (x) $ استفاده کنید. چنانچه در توضیح توابع معکوس حل و یا چرایی بخش هایی که بدیهی فرض کرده ام ابهامی داشتید در بخش نظرات بپرسید تا پاسخ بدم. من بخاطر طولانی نشدن پاسخ از درج اثبات اونها خودداری کردم.

Answer 2

ابتدا به جای $\frac{ \pi }{2}-x , x$ را در تساوی قرار دهید به صورت زیر ساده می شود

$ f( cos x ) + 2f( sin x ) = 2cos^2 x $(1)

تساوی سوال را در 2- ضرب کنید و با تساوی (1) جمع کنید خواهیم داشت:

$ - 3f( cos x ) = -4sin^2x+2cos^2 x $ باتوجه به اینکه $sin^2x=1-cos^2 x$

باجایگزینی $ - 3f( cos x ) = -4+6cos^2 x $

باتغییر متغییر $f(x)= \frac{4}{3}-2x^2 $

Comments

ممنون، راه حل کوتاه و جالبی بود.

---

شما لطف دارید