اگر $ f(X)= \frac{\left| x^{2}-2x \right|}{sin2x} $ حاصل $ \lim_{x\to \frac{ \pi ^{+} }{2} }f(cosx) $

Question

با فرض $ f(x)= \frac{\left| x^{2}-2x \right|}{sin2x} $ ، حاصل $ \lim_{x\to \frac{ \pi ^{+} }{2} }f(cosx) $ چه‌قدر است؟

1. $ 1 $
2. $ -1 $
3. $ \frac{1}{2} $
4. $ -\frac{1}{2} $

Answer 1

با تغییر متغیر $u=cosx$ داریم:

$$ \lim_{x\to \frac{ \pi }{2} ^+} f(cosx)=\lim_{x\to \frac{ \pi }{2} ^+} \frac{|cos^2x-2cosx|}{sin(2cos(x))} $$

$$= \lim_{u\to 0^-} \frac{|u^2-2u|}{sin(2u)} (?)=\lim_{u\to 0^-} \frac{(u^2-2u)}{sin(2u)} (?)$$

$$=\lim_{u\to 0^-} \frac{u}{sin(2u)}. \lim_{u\to 0^-} (u-2)$$

$$= \frac{1}{2} .(-2)=-1$$

$ \Box $