تعریف مشتق :$ \lim_{x \rightarrow c} m_{xc} = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c) $

Question

تعریف مشتق :

هرگاه تابع $ f $بر بازه ی $ (a,b) $تعریف شده باشد .

به ازای هر دو نقطه $ x,c $ که در این بازه قرار دارند .میتوان نوشت :

$$ m_{xc} = \frac{f(x)-f(c)}{x-c} $$

حالا اگر :

$$ \lim_{x \rightarrow c} m_{xc} = \lim_{x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c}=f'(c) $$

حالا چند سوال از این تعریف داشتم :

1)ما میدانیم که حد را فقط برای توابع تعریف میشوند . درسته ؟پس باید $ m_{xc} = \frac{f(x)-f(c)}{x-c} $ یک تابع باشد . ! حالا چرا این $ m_{xc} = \frac{f(x)-f(c)}{x-c} $ تابع است ؟

2) چرا تابع $f$ باید در بازه ی باز $(a,b)$ تعریف شده باشد . اگر بسته یعنی$[a,b]$ باشد چه مشکلی پیش می آید ؟

Answer 1

در مورد سوال اول جمع و تفریق توابع باز هم تابع است ضرب و تقسیم(به شرطی که مخرج صفر نشود) توابع هم باز تابع است.

در مورد سوال دوم برای نقاط $c\in (a, b)$ وقتی حد میگیریم از دو طرف می توان به $c$ نزدیک شد ولی برای نقاط انتهایی فقط از یک طرف می توان نزدیک شد. در اینصورت ما در نقطه $a$ مشتق از راست داریم و در نقطه $b$ مشتق چپ.

Comments

@amirm20
پس اگر اینطور بشه $lim_{x\to a}f(x)$ حد بی نهایت تابع است!؟؟
به نظر میرسه شما تعریف حد براتون جا نیفتاده.
در حالت کلی لازمه که $c$ یک نقطه از دامنه و یک نقطه حدی دامنه باشد.

---

@fardina
نه منطورم این نیست .
بازه ی $(1,5)$ در نظر بگیرید. این بازه از بی نهایت نقطه تشکیل شده .
و $c$ میتواند بی نهایت نقطه را از بازه انتخاب کند . حالا تابع ایی تعریف میکنیم به صورت زیر:

<math>$$ m_{xc} = \frac{f(x)-f(c)}{x-c} $$</math>
حالا $c$نقطه ایی در بازه $(1و5)$ است : مثلابرای $2$ داریم ی تابع میشود:

<math>$$ m_{xc} = \frac{f(x)-f(2)}{x-2} $$</math>

برای $3$ ی تابع دیگر:
<math>$$ m_{xc} = \frac{f(x)-f(3)}{x-3} $$</math>

برای $4$:ی تابع دیگر

<math>$$ m_{xc} = \frac{f(x)-f(4)}{x-4} $$</math>
و همینطور برای نقاط دیگر ....

---

@amirm20
در تعریف مشتق که دیگه $c$ متغیر نیست! وقتی میگید $f'(2)=\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}$ دیگه این $x$ هست که متغیر است.

اگر منظورتان تابع مشتق است: $f':D\to \mathbb R$ که در اینصورت به هر $c$ مقدار حقیقی $f'(c)$ را نسبت می دهد.

متاسفانه نمیدونم منظورتون چیه!

---

@fardina
در تعریف مشتق که دیگه c متغیر نیست!
با چیزی که فرمودید گرفتم قصیه رو ..
ممنون استاد.
فقط:
در حالت کلی لازمه که c یک نقطه از دامنه و یک نقطه حدی دامنه باشد.
منظور از نقطه حدی دامنه یعنی چی؟

---

@amirm20
اگر $A$ دامنه تابع باشه یعنی $c\in A$ و دنباله ای در $A\setminus\{c\}$ موجود باشد که به $c$ همگرا باشد
https://fa.wikipedia.org/wiki/%D9%86%D9%82%D8%B7%D9%87_%D8%AD%D8%AF%DB%8C

Answer 2

این که تابع باید در بازه ی بازی تعریف شده باشه و اگر بسته باشد چه مشکلی پیش می آید در واقع هیچ مشکلی پیش نمیاد چون در حالت کلی اگه $f$ روی $[a,b]$ تعریف شده باشه اون وقت $f$ روی $(a,b)$ هم تعریف شده! و درستی این مطلب واضحه چون:

$$(a,b) \subset [a,b]$$

در واقع این که $f$ باید روی $ (a,b) $ تعریف شده باشه یه شرط کافی برای مشتق پذیریه البته مشروط براین که حد مذکور در $a$ وجود داشته باشه.