$$ \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{a \rightarrow b} g(x)} $$

Question

$$ \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x \rightarrow a} g(x)} $$

$$ =\frac{0}{0} =?$$

$$= \frac{ \infty }{\infty}=? $$

$$= \frac{ L_{1} }{ L_{2} } =?$$

$$= \frac{0}{L}= ?$$

$$= \frac{L}{0}=? $$

$$= \frac{ \infty }{0}= ?$$

$$= \frac{0}{ \infty}= ?$$

$$= \frac{ \infty}{L} =?$$

$$= \frac{L}{ \infty} =?$$

Comments

میشه سوالونو توضیح بدید؟ من متوجه نمیشم.

---

@fardina
$$  \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}  = \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x \rightarrow a} g(x)}  $$
حالا يكي از خواسته ها رو درنظر ميگيريم
اگر$ \lim_{x \rightarrow a} f(x)=0$
و$ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=L$
باشد حاصل حد زير چيست
$$  \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}  = \frac{ \lim_{x \rightarrow a} f(x)}{ \lim_{x \rightarrow a} g(x)}  $$

Answer 1

• اگر $f(x), g(x)\to 0$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}\to \frac 00$ مبهم است و باید رفع ابهام کرد. (اینجا رو ببینید)

• اگر $f(x), g(x)\to \infty$ در اینصورت $\frac {f(x)}{g(x)}\to \frac\infty\infty$ مبهم است و باید رفع ابهام کرد. ( اینجا رو ببینید)

• اگر $f(x)\to L_1$ و $g(x)\to L_2\neq 0$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}\to\frac{L_1}{L_2}$

• اگر $f(x)\to 0$ و $g(x)\to L\neq 0$ در اینصورت $ \frac{f(x)}{g(x)}\to 0 $

• اگر $f(x)\to L\neq 0$ و $g(x)\to 0$ در اینصورت چند حالت داریم:

  • اگر $L> 0$ و $g(x)\to 0^+$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}\to +\infty$
  • اگر $L> 0$ و $g(x)\to 0^-$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}\to -\infty$
  • اگر $L< 0$ و $g(x)\to 0^+$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}\to -\infty$
  • اگر $L< 0$ و $g(x)\to 0^-$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}\to +\infty$
• اگر $f(x)\to \infty$ و $g(x)\to 0$ بسته به اینکه $g(x)\to 0^+$ یا $g(x)\to 0^-$ داریم $\frac{f(x)}{g(x)}\to \infty$ یا $\frac{f(x)}{g(x)}\to -\infty$ . (توجه کنید که $\infty\times \infty=\infty$ )
• اگر $f(x)\to 0$ و $g(x)\to \infty$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\times \frac 1{g(x)}=0\times 0=0$
• اگر $f(x)\to \infty$ و $g(x)\to L\neq 0$ بسته به علامت $L$ حد $\frac{f(x)}{g(x)}$ برابر $\infty$ یا $-\infty$ می شود.
• اگر $f(x)\to L\neq 0$ و $g(x)\to \infty$ در اینصورت $\frac{f(x)}{g(x)}\to 0$