Question

$$ \lim_{x \rightarrow a} f(x)×g(x)= \lim_{x \rightarrow a} f(x)× \lim_{x \rightarrow a} g(x)$$

$$=0×0=?$$

$$= \infty × \infty =?$$

$$= L_{1} × L_{2} =?$$

$$=0× \infty =?$$

$$= \infty ×0=?$$

$$=L× \infty =?$$

$$= \infty ×L=?$$

$$=0×L=?$$

$$=L×0=?$$

Answer 1

اگر $f(x), g(x)\to 0$ در اینصورت $f(x)g(x)\to 0\times 0=0$

اگر $f(x), g(x)\to \infty$ در اینصورت $f(x)g(x)\to \infty\times \infty=\infty$

اگر $f(x)\to L_1$ و $g(x)\to L_2$ در اینصورت $f(x)g(x)\to L_1\times L_2$

اگر $f(x)\to 0$ و $g(x)\to \infty$ در اینصورت $f(x)g(X)\to 0\times \infty$ حالت مبهم دارد و باید رفع ابهام کرد.(اینجا رو ببینید.)

اگر $L > 0$ در اینصورت $L\times \infty=\infty$ و $L\times (-\infty)=-\infty $

اگر $L< 0$ در اینصورت $L\times \infty=-\infty $ و $L\times (-\infty)=+\infty $

اگر $(x)\to 0$ و $g(x)\to L\in\mathbb R$ در اینصورت $f(x)g(x)\to 0\times L=0$