اگر $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=b$ وتابع $g$ در نقطه $b$ پيوسته باشد آنگاه:

Question

قضيه زير را اثبات كنيد:

اگر $ \lim_{x \rightarrow a} g(x)=b$ وتابع$f$ در نقطه $b$ پيوسته باشد آنگاه:

$ \lim_{x\rightarrow a} f(g(x))=f(b)$

Answer 1

فرض کنید $\epsilon> 0$ داده شده باشد. بنار فرض $f$ در $b$ پیوسته است یعنی $\lim_{x\to b}f(x)=f(b)$ پس $\delta> 0$ موجود است که $$|x-b|< \delta\Rightarrow |f(x)-f(b)|< \epsilon$$ از طرفی چون $\lim_{x\to a}g(x)=b$ پس متناظر با $\delta> 0$ یک $\delta'>0$ هست که $$|x-a|< \delta'\Rightarrow |g(x)-b|< \delta$$ و از این رو چنانچه $|x-a|< \delta'$ آنگاه بنابر دو رابطه بالا خواهیم داشته $|f(g(x))-f(b)|< \epsilon$ .

این قضیه در تمام کتب ریاضی عمومی و آنالیز وجود دارد.