Question

اگر $f(x)=[x]$ و $g(x)=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$ باشند، در این صورت بُردِ $f\circ g$ شامل چند عدد صحیح است؟

در کتاب پاسخش را به شکل زیر نوشته‌است ولی من متوجه نمی‌شوم چه کار می‌کند. لطفا برایم توضیح دهید.

$$y x^{2} +yx +y = x^{2} - x +1\Longrightarrow (y - 1) x^{2} + (y + 1)x +(y -1)x =0$$

گفته‌است که برای وجود وارون باید $\Delta\geq 0$ باشد، ولی چرا؟ سپس ادامه داده‌است که

$$(y + 1)^{2} - 4(y -1)^{2} \geq 0\Longrightarrow 3y^{2} - 10y + 3 \leq 0 => \frac{1}{3} \leq y \leq 3$$

یعنی برد $g$ بازهٔ $[\frac{1}{3},3]$ است و بنابراین برد $f\circ g$ که یعنی $[y]$ برابر با مجموعهٔ $\lbrace 0,1,2,3\rbrace$ می‌شود.

Comments

فرمول های ریاضی را باید بین دو علامت دولار قرار دهید تا خوانا شوند

---

@beautifulsoup برایتان عنوان و متن پرسش را ویرایش کردم. در مورد مرجع، توجه کنید که «مدرسان شریف» یک انتشارات و مؤسسه است نه کتاب! باید نام کتاب و مشخصاتش مانند نام نویسنده و ویرایش چندم یا سال چاپ را نیز بیفزائید. بعلاوه یک بار پس از نوشتن متن، آن را دوباره بخوانید تعداد بسیار زیادی اشتباه نوشتاری داشتید. برای راهنمای نوشتن ریاضی نیز پست‌های زیر را بخوانید.
https://math.irancircle.com/56
https://math.irancircle.com/52

Answer 1

ابتدا برای اینکه بداند برد $g(x)$ چه اعدادی میتواند باشد، $y$ را مساوی $g(x)$قرار داده. سپس در مخرج کسر ضرب کرده و یک معادله درجه دوم بدست آورده. حال برای اینکه بدانیم <<آیا این معادله جواب دارد>> باید دلتا را بدست بیاوریم. دلتا را بدست آورده و سپس نشان داده <<در صورتی معادله گفته شده جواب دارد که مقدار $y$ بین ان دو عدد باشد>>. $y$ همان برد است. پس نتیجه میشود برد تابع تنها در بازه گفته شده میتواند باشد. پس برد تابع، حداکثر چهار جواب صحیح دارد. باانتخاب ایکسهایی مانند $x=1,0,-1,2$ به چهار جواب صحیح میرسیم. پس برد تابع دقیق ۴ عدد صحیح را شامل است