تابع $f)x_=\frac{1}{(x-a)(x^2-2x+a)}$ دقیقا دو عدد حقیقی را ندارد. دامنهٔ این تابع را بیابید.

Question

اگردامنه تابع $f(x)= \frac{1}{(x-a)(x^2-2x+a)} $ دقیقا دو عدد حقیقی را شامل نباشد؛ دامنه آن را بیابید.

یک ریشه $a$ است اکنون به بحث ریشه دیگر برای عامل $x^2-2x+a$ بایددقت کرد. به $ D_{f} =R- \lbrace 0,2\rbrace $ رسیدم. نظر شما؟

Answer 1

با توجه به فرض سوال باید $g(x):=(x-a)(x^2-2x+a)$ فقط دو ریشه داشته باشد .

سه حالت برای عبارت درجه دوم $(x^2-2x+a) $ در نظر میگیریم :

• $\Delta < 0$ در این صورت ریشه ندارد در نتیجه $g(x)$ شامل یک ریشه است . پس قابل قبول نیست .

• $\Delta =0$ در این صورت داریم :

$$\Delta=4-4a=0 \\a=1 \\ g(x)=(x-1)(x^2-2x+1)=(x-1)^3$$

بازم هم قابل قبول نیست زیرا فقط یک ریشه مکرر دارد .

• $\Delta > 0$ در این حالت دو ریشه متمایز دارد . که باید یکی از ریشه های آن برابر با $x=a$ باشد . زیرا اگر برابر $x=a$ نباشد $g(x)$ سه ریشه خواهد داشت . حال چون $x=a$ یک ریشه معادله درجه دوم هست پس درآن صدق میکند درنتیجه خواهیم داشت :

$$(a^2-2a+a)=0\\a^2-a=0\\a(a-1)=0\\a=0 \ \ \text{Or} \ \ a=1$$

$a=1$ نمیتواند باشد زیرا $g(x)$ مثل حالت دوم یک ریشه مکرر مرتبه سوم دارد . در نتیجه $a=0$ در این صورت خواهیم داشت :

$$g(x)=x(x^2-2x)$$

که ریشه های آن برابر است با $x=0 ,x=2$ در نتیجه دامنه برابر خواهد شد با :

$$D_f=\mathbb{R} /\{0,2\}$$

Comments

ضمن تقدیر
درحالت سوم دلتا بزرگترازصفراصلاح شود