با توجه به فرض سوال باید $g(x):=(x-a)(x^2-2x+a)$ فقط دو ریشه داشته باشد .
سه حالت برای عبارت درجه دوم $(x^2-2x+a) $ در نظر میگیریم :
$$\Delta=4-4a=0 \\a=1 \\ g(x)=(x-1)(x^2-2x+1)=(x-1)^3$$
بازم هم قابل قبول نیست زیرا فقط یک ریشه مکرر دارد .
- $\Delta > 0$ در این حالت دو ریشه متمایز دارد . که باید یکی از ریشه های آن برابر با $x=a$ باشد . زیرا اگر برابر $x=a$ نباشد $g(x)$ سه ریشه خواهد داشت . حال چون $x=a$ یک ریشه معادله درجه دوم هست پس درآن صدق میکند درنتیجه خواهیم داشت :
$$(a^2-2a+a)=0\\a^2-a=0\\a(a-1)=0\\a=0 \ \ \text{Or} \ \ a=1$$
$a=1$ نمیتواند باشد زیرا $g(x)$ مثل حالت دوم یک ریشه مکرر مرتبه سوم دارد .
در نتیجه $a=0$ در این صورت خواهیم داشت :
$$g(x)=x(x^2-2x)$$
که ریشه های آن برابر است با $x=0 ,x=2$ در نتیجه دامنه برابر خواهد شد با :
$$D_f=\mathbb{R} /\{0,2\}$$
