Question

اگر $ \alpha و \beta $ ریشه های معادله ی $ x^{2} +4x-1=0 $ باشد ، مطلوب است محاسبه ی : $ \frac{ \alpha ^{2} }{ \alpha + \beta }+ \frac{ \beta ^{2} }{ \beta +1} $

Answer 1

اگر $\alpha و \beta$ ریشه های معادله $a x^{2}+bx+c=0 $ باشند داریم $$\alpha . \beta= \frac{c}{a}=-1 و \alpha+\beta= \frac{-b}{a}=-4 $$

$$\frac{ \alpha ^{2} }{ \alpha + \beta }+ \frac{ \beta ^{2} }{ \beta +1}= \frac{\alpha . \beta(\alpha + \beta )+ \alpha^{2}+ \beta ^{3} }{(\alpha + \beta )( \beta +1)} = \frac{4+ \frac{1}{ \beta ^{2}} + \beta ^{3}}{-4(1+ \beta)} (1)$$ ریشه های معادله درجه 2 به صورت $ \beta =-2+ \sqrt{5} $ و $ \alpha =-2- \sqrt{5} $، با جایگذاری مقدار $\beta$ در عبارت $(1)$، حاصل عبارت خواسته شده به دست می آید.

Comments

میشه بفرمایید که مقادیر a , b چطور بدست امد ؟
اگه ریشه های معادله هستن ، باید بدون حل معادله به جواب رسید نه به این شکل !!!!