اگر در معادله $-2x^2+4x-m=0$داشته باشیم $\frac\alpha\beta+\frac\beta\alpha=-\frac12 $مقدار $m$را به دست آورید.

Question

اگر $\alpha$ و $\beta$ ریشه های معادله ی درجه دوم $-2x^2+4x–m=0$ و همچنین$\frac\alpha\beta+\frac\beta\alpha=-\frac 12$ مقدار $m$ را به دست آورید.

Comments

از اين روابط ميتوانيد كمك بگيريد

$$ \frac{\alpha }{ \beta } + \frac{ \beta }{ \alpha  } = \frac{  \alpha ^{2} +  \beta ^{2} }{ \alpha  \beta }= \frac{ ( \alpha + \beta )^{2} -2( \alpha  \beta )}{ \alpha  \beta }=  \frac{S^{2} -2P}{P}  $$

اگر داشته باشيم$ x^{2} +bx+c=0$a

$$P=\alpha \beta= \frac{c}{a},S=\alpha+ \beta= \frac{-b}{a}  $$

Answer 1

اگر $ \alpha$ و $ \beta$ ریشه های معادله $x^{2}+bx+c = 0$ باشند ، آنگاه :

$ \alpha+ \beta=-\frac{b}{a} $

.

$ \alpha* \beta=\frac{c}{a} $

.

پس در معادله ($-2x^{2}+4x-m=0$) که $ \alpha$ و $ \beta$ ریشه های آن هستند :

$ \alpha+ \beta=2$

.

$ \alpha* \beta=\frac{m}{2} $

حال سراغ عبارت داده شده میرویم :

$ \frac{ \alpha}{ \beta}+ \frac{ \beta}{ \alpha}= \frac{ \alpha^{2}+ \beta^{2}}{\alpha\beta}= \frac{(\alpha+ \beta)^{2}-2 \alpha\beta}{ \alpha\beta}=-\frac{1}{2} \Longrightarrow \frac{2^{2}-2*\frac{m}{2}}{ \frac{m}{2}}=\frac{4-m}{ \frac{m}{2}}= \frac{8-2m}{m}=-\frac{1}{2} $ $ \Longrightarrow 4m-16=m \Longrightarrow m=\frac{16}{3} $