Question

اگر $ f' (x)= \frac{ \alpha }{(1+ \sqrt{2x^2+1})^2} $ و$f(0)= \beta $ آنگاه مقادیر $ \alpha , \beta > 0$ را به گونه ای بیابید که $ \frac{5}{4} < f(2) < 2$

Answer 1

از قضیه مقدار میانگین میدانیم:

اگر تابع $f$ روی $[a,b]$ پیوسته و روی $(a,b)$ مشتق پذیر باشد آنگاه $c \epsilon (a,b)$ موجود است بطوریکه:

$$ f' (c)= \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$

با توجه به مساله,بازه ی $[0,2]$ را در نظر میگیریم در نتیجه $0 \leq x \leq 2$

پس $1 \leq 2x^2+1 \leq 9$ و $4 \leq (1+ \sqrt{2x^2+1} )^2 \leq 16$

در نتیجه:

$ \frac{ \alpha }{16} \leq \frac{ \alpha }{ (1+ \sqrt{2x^2+1} )^2} \leq \frac{ \alpha }{4} $ در نتیجه با استفاده از قضیه مقدار میانگین داریم :

$ \frac{ \alpha }{16} \leq \frac{f(2)-f(0)}{2-0} \leq \frac{ \alpha }{4} $

$$ \frac{ \alpha }{16} \leq \frac{f(2)- \beta }{2} \leq \frac{ \alpha }{4} $$

در نتیجه بدست می آید:

$$ \beta =1 , \alpha =2$$