سوال اشتباه است! به عنوان مثال نقضی برای گزاره شما می توان معادله ی درجه دوم $(x-(1-\sqrt 2))(x-3)=0$ را در نظر گرفت که ریشه های آن $1-\sqrt 2$ و $3$ است.
گزاره درست به این صورت است:
اگر بخواهیم معادله درجه دومی با ضرایب گویا تشکیل دهیم که یک ریشه آن $\alpha-\sqrt{\beta}$ باشدکه $\beta> 0$ ، آنگاه ریشه دیگر برابر $\alpha+\sqrt\beta$ خواهد بود.(توجه کنید
$\alpha,\beta$ اعداد گویا هستند)
برای اثبات این مطلب اگر قرار دهیم $x=\alpha+\sqrt\beta$ که $\beta> 0$ در اینصورت داریم: $x-\alpha=\sqrt\beta$ با به توان دو رساندن طرفین داریم
$$\begin{align}(x-\alpha)^2&=(\sqrt\beta)^2\\
x^2-2\alpha x+\alpha^2&=\beta\\
x^2-2\alpha x+\alpha^2-\beta&=0
\end{align}$$
اگر معادله اخیر را که ضرایب آن به صورت $a=1,b=-2\alpha,c=\alpha^2-\beta$حل کنیم داریم: $\Delta=(-2\alpha)^2-4(1)(\alpha^2-\beta)=4\beta> 0$ و لذا ریشه های آن برابر است با
$$x_1,x_2=\frac{-(-2\alpha)\pm\sqrt{4\beta}}{2(1)}=\alpha\pm\sqrt\beta$$
پس یک ریشه $\alpha-\sqrt\beta$ و ریشه ی دیگر $\alpha+\sqrt\beta$ است.
