در معادله درجه دوم مجموع ریشه سوم دو ریشه برحسب ضرایب معادله کدام است؟

Question

اگر $x,y$ ریشه های معادله درجه دوم $ax^2+bx+c=0$ باشند حاصل $$x^ \frac{1}{3} +y^ \frac{1}{3} $$ بر حسب ضرایب معادله کدام است؟

Answer 1

قرار دهید:

$ x_{1} + x_{2} =- \frac{b}{a} , x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} $

آنگاه بنا به اتحاد مکعب دو جمله ای داریم:

$( x_{1} ^{ \frac{1}{3} } + x_{2} ^{ \frac{1}{3} } )^3=( x_{1} ^{ \frac{1}{3} } )^3+( x_{2} ^{ \frac{1}{3} } )^3+3 x_{1} ^{ \frac{1}{3} } x_{2} ^{ \frac{1}{3} } ( x_{1} ^{ \frac{1}{3} } + x_{2} ^{ \frac{1}{3} } )$

$= x_{1} + x_{2}+3 ( x_{1} x_{2} )^{ \frac{1}{3} }( x_{1} ^{ \frac{1}{3} } + x_{2} ^{ \frac{1}{3} } ) $

حالا اگر قرار دهید: $A= x_{1} ^{ \frac{1}{3} } + x_{2} ^{ \frac{1}{3} } $

آنگاه داریم:

$ A^{3} =3( \frac{c}{a} )^ \frac{1}{3} A- \frac{b}{a} $

واین معادله درجه 3 خاص $ x^{3} +px+q=0$ است که فرمول و حلش واضح است.

Comments

@ قاسم شبرنک لطف می کنید نگاهی به پاسخ تان بکنید؟
تا اینجا مشکلی را حل نمی کند بلد بودم.

---

حل معادله درجه 3 در حالت خاص را میتوان در وب جهانی و در بیشتر کتابها و سایتها یافت.