Question

معادله $(x-3)(x-5)(x-2)= \frac{k}{x}$ در مجموعه $k \in (a, \infty) \bigcup \{b\}$ دو ریشه دارد.

مقدار $a+ \frac{b}{16}$ کدام است؟

Answer 1

حل:

$(x-3)(x-5)(x-2)= \frac{k}{x} \Rightarrow x(x-3)(x-5)(x-2)=k$

حالا تابع چندجمله ای زیر را در نظر بگیرید:

$P(x):=x(x-3)(x-5)(x-2)=x^4-10x^3+31x^2-30x$

$,P'(x)=4x^3-30x^2+62x-30=2(2x-5)(x^2-5x+3)$

$=2(2x-5)(x- \alpha )(x- \beta ), \alpha , \beta \in R, \alpha < \frac{5}{2} < \beta$

$,P''(x)=12x^2-60x+62=(x-s)(x-t),s,t \in R$

اگر شکل این تابع را رسم کنیم شبیه $W$ است که در نقاط $\alpha , \beta$ دارای مینیمم نسبی و در $\frac{5}{2}$ ماکزیمم نسبی دارد و نقاط $t,s$ نقاط عطف تابع اند.

حال باید ببینیم کجا خط $y=k$ تابع را در دو نقطه قطع می کند.اگر شکل را مجسم کنید باید:

$k=P( \alpha )=P( \beta ) \vee k>P( \frac{5}{2} )$

$\Rightarrow a=P( \frac{5}{2} ),b=P( \alpha ) \Rightarrow a+ \frac{b}{16} =P( \frac{5}{2} )+ \frac{P( \alpha )}{16}$

محاسبه جزئیات و $\alpha$ و $P( \alpha )$ و $P( \frac{5}{2} )$ با خواننده.

$\Box$

اگر $k< P( \alpha )$ معادله جواب ندارد و اگر $k=0$ معادله سه جواب و اگر $P( \alpha )< k< P( \frac{5}{2} ),k \neq 0$ معادله چهار جواب دارد.(چرا؟).

Answer 2