حل:
$(x-3)(x-5)(x-2)= \frac{k}{x} \Rightarrow x(x-3)(x-5)(x-2)=k$
حالا تابع چندجمله ای زیر را در نظر بگیرید:
$P(x):=x(x-3)(x-5)(x-2)=x^4-10x^3+31x^2-30x$
$,P'(x)=4x^3-30x^2+62x-30=2(2x-5)(x^2-5x+3)$
$=2(2x-5)(x- \alpha )(x- \beta ), \alpha , \beta \in R, \alpha < \frac{5}{2} < \beta $
$,P''(x)=12x^2-60x+62=(x-s)(x-t),s,t \in R$
اگر شکل این تابع را رسم کنیم شبیه $W$ است که در نقاط $ \alpha , \beta $ دارای مینیمم نسبی و در $ \frac{5}{2} $ ماکزیمم نسبی دارد و نقاط $t,s$ نقاط عطف تابع اند.
حال باید ببینیم کجا خط $y=k$ تابع را در دو نقطه قطع می کند.اگر شکل را مجسم کنید باید:
$k=P( \alpha )=P( \beta ) \vee k>P( \frac{5}{2} )$
$ \Rightarrow a=P( \frac{5}{2} ),b=P( \alpha ) \Rightarrow a+ \frac{b}{16} =P( \frac{5}{2} )+ \frac{P( \alpha )}{16} $
محاسبه جزئیات و $ \alpha $ و $P( \alpha )$ و $P( \frac{5}{2} )$ با خواننده.
$ \Box $
اگر $k< P( \alpha )$ معادله جواب ندارد و اگر $k=0$ معادله سه جواب و اگر $P( \alpha )< k< P( \frac{5}{2} ),k \neq 0$ معادله چهار جواب دارد.(چرا؟).
