مجموع ریشه ها برابر است با $ \frac{-b}{a} $ و حاصلضرب ریشه ها برابر است با $ \frac{c}{a} $ پس در این سوال داریم:$ \alpha + \beta =1 $ و
$ \alpha \beta =-3 $
همچنین چون $ \alpha $ و $ \beta $ ریشه هستند لذا در معادله صدق میکنند یعنی $ \alpha ^{2} - \alpha -3=0$ پس $ \alpha ^{2}= \alpha +3$ طرفین را به توان 2 می رسانیم پس $ \alpha ^{4}=(\alpha+3) ^{2} = \alpha ^{2}+6 \alpha +9$
حال مقدار بدست آمده را در صورت سوال قرار می دهیم:
$$ \alpha ^{4}+ \beta ^{2}-6 \alpha -8= \alpha ^{2}+6 \alpha +9 + \beta ^{2}-6 \alpha -8=$$
$$\alpha ^{2}+ \beta ^{2} +1$$
حال باید مقدار $\alpha ^{2}+ \beta ^{2} $ را جایگذاری کنیم رابطه ی زیر را داریم:
$$ (\alpha + \beta )^{2}= \alpha ^{2}+ \beta ^{2} +2 \alpha \beta \Rightarrow \alpha ^{2}+ \beta ^{2} =(\alpha + \beta )^{2}- 2 \alpha \beta$$
با جایگذاری مقادیر داریم:
$$ \alpha ^{2}+ \beta ^{2}=1-2(-3)=7$$
پس در کل جواب برابر است با $$\alpha ^{2}+ \beta ^{2} +1=7+1=8$$
