Question

اگر اضلاع یک مثلث قائم الزاویه تشکیل یک دنباله حسابی می دهند.اگر محسیط مثلث مساوی ۲۴ باشد طول هر ضلع و شعاع دایره محاطی و محیطی این مثلث را بدست آورید

Answer 1

چون سه ضلع مثلث تشکیل تصاعد یا دنباله حسابی می دهند فرض می کنیم آن سه ضلع$a$و $a-d$ و $a+d$ هستند. اگر$a$و$a-d$دوضلع قائمه و $a+d$وتر مثلث قائم الزاویه باشند طبق رابطه فیثاغورث داریم

$$(a+d)^2=a^2+(a-d)^2$$ که با ساده کردن نتیجه می دهد$a=4d$لذادوضلع دیگر$a-d=3d$و$a+d=5d$خواهند بود. از طرفی باکمک محیط داریم $$4d+3d+5d=12d=24$$ لذا$d=2$و اضلاع مثلث سه تایی$(6,8,10)$خواهد بود.شعاع دایره محاطی مثلث برابر است با مساحت تقسیم بر نصف محیط یعنی $$\frac{s}{p}$$ که در آن$s$مساحت دایره و$p$نصف محیط مثلث است.مساحت مثلث برابر$s= \frac{6\times8}{2} =24$و لذا $$r= \frac{24}{12} =2$$ است. شعاع دایره محیطی برابر نصف وتر است و مرکز آن روی وسط وتر قرار دارد. لذا شعاع دایره محیطی برابر$5$است.