دو عدد $a$ و $x$ دلخواه بردارید. جمله عمومی دنباله ای با فرم جملات $\lbrace a,a,a+x,a+x,a+2x,a+2x,\cdots\rbrace$ را بیابید.

Question

سلام، از دوستان و اساتید کسی روش یا فرمولی را می‌شناسد که باهاش بشود جمله‌عمومی دنباله‌ای با فرم جملات زیر را بدست آورد؟ یعنی دو عدد دلخواه $a$ و $x$ داریم. عدد $a$ جملهٔ نخست‌مان است. هر جمله یک‌بار تکرار می‌شود و سپس با $x$ جمع می‌شود. یعنی دنبالهٔ حسابی با جملهٔ نخست $a$ و قدر نسبت $x$، که هر جمله‌اش یک بار تکرار شده‌است.

$$\lbrace a,a,a+x,a+x,a+2x,a+2x,\cdots\rbrace$$

با تشکر.

Comments

با سلام خدمت شما دوست عزیز.. در رابطه با سوال هاتون باید عرض کنم که. شما  میتوانید سوالات جمله عمومی رو به هزاران روش ابداع کنید... لذا به دست اوردن جمله عمومی چند تا از این ابداع ها انچنان کاربردی نیست..... لطفا مطلب درسی رو کامل بخونید. به جای این که بیاید و همش درخواست فرمول از جملات عمومی را بکنید که میتوانند به هزاران روش حل شوند..... همچنین دوستان در سوالات قبل شما و سوالات مشابه به این را پاسح کامل و دقیق دادند... لذا خواهشمند است ابتدا ان هارا بخوانید. سپس خودتان تلاشی کنید... @amin.sm

---

shadow_ali@ ممنون

---

@Amin.sm به ویرایشی که بر روی متن این پرسش و پرسش دیگرتان انجام دادم نگاه کنید. زمانی که بیشتر توضیح بدهید و با دقت بیشتر به چیزی نگاه کنید و دقیق بنویسید، هم پرسش برای خودتان واضح‌تر می‌شود و هم دارای پاسخ یکتا می‌شود. همانطور که آقای @shadow_ali اشاره کردند اگر به پرسش‌های مشابه آمده در سایت در مورد دنباله‌ها نگاه کنید، یک دنباله به طور یکتا از روی تعداد متناهی عضو نخستش بدست نمی‌آید.

Answer 1

به نام خدا

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

تابعی با نام FindSequenceFunction در نرم افزار Mathematica وجود دارد که شما با استفاده از آن می‌توانید جملهٔ عمومی دنباله‌‌ی دلخواه خود را به دست آورید.با وارد کردن دنباله‌ای که شما در پرسش‌تان مطرح کردید،نرم افزار به شما جملهٔ عمومی زیر را می‌دهد:

$\frac{1}{4} (-1)^{n} ( 4(-1)^{n} a-x-3(-1)^{n} x+2(-1)^{n} xn)$

پس به‌جای اینکه دنباله‌ای را اختراع و بعد در سایت محفل ریاضی به دنبال جمله عمومی آن باشید،خیلی راحت به‌جای این کار آن را در نرم افزار
Mathematica وارد کنید تا در چند ثانیه جمله عمومی دنباله مورد نظر را بدست آورید؛ امیدوارم این توضیحات بنده برایتان مفید واقع شده باشد.

Answer 2

ابتدا فقط بنویسید:

$$a_n=\begin{cases} a+(k-1)x &; & n=2k-1\\ a+(k-2)x &; & n=2k \end{cases}$$

در نتیجه:

$$a_n=\begin{cases} a+(k-1)x &; & k= \frac{n+1}{2} \\ a+(k-2)x &; & k= \frac{n}{2} \end{cases}$$

سپس:

$$a_n=\begin{cases} a+( \frac{n+1}{2} -1)x &; & k= \frac{n+1}{2} \\ a+( \frac{n}{2} -2)x &; & k= \frac{n}{2} \end{cases}$$

و پس از ساده‌سازی:

$$a_n=\begin{cases} a+( \frac{n-1}{2})x &; & k= \frac{n+1}{2} \\ a+( \frac{n-4}{2})x &; & k= \frac{n}{2} \end{cases}$$

تا اینجای کار توانستیم دو ضابطه برای دنباله به‌دست آوریم. یکی برای $n$های فرد ($a+( \frac{n-1}{2} )x$) و دیگری برای $n$های زوج ($a+( \frac{n-4}{2} )x$). حالا باید این دو ضابطه را تبدیل به یک ضابطه کلی کنیم که برای همهٔ جمله‌های دنباله درست باشد. برای اینکار از دنبالهٔ زیر و جملهٔ عمومی آن استفاده می‌کنیم:

$$\{A,B,A,B,A,B,A,B,...\}$$

دقت کنید که این یک دنباله با دور تکرار است ($A$ و $B$ یکی در میان تکرار می‌شوند).

جملهٔ عمومی‌اش $\frac{(A+B)+(B-A)(-1)^n}{2}$ است. حالا فقط کافی است که ضابطه‌هایی را که به‌دست آوردیم، به‌جای $A$ و $B$ در $\frac{(A+B)+(B-A)(-1)^n}{2}$ جای‌گذاری کنیم. ضابطه‌ای که برای $n$های فرد به‌دست آوردیم را به‌جای $A$ و ضابطه‌ای که برای $n$های زوج به‌دست آوردیم را به‌جای $B$ قرار می‌دهیم تا در نهایت جملهٔ عمومی دنبالهٔ $\lbrace a,a,a+x,a+x,a+2x,a+2x,\cdots\rbrace$، به‌دست آید:

$$\frac{\big((a+( \frac{n-1}{2})x)+(a+( \frac{n-4}{2})x)\big)+\big((a+( \frac{n-4}{2})x)-(a+( \frac{n-1}{2})x)\big)(-1)^n}{2}$$

همچنین آن را ساده‌تر هم می‌توانید کنید.