ابتدا فقط بنویسید:
$$a_n=\begin{cases}
a+(k-1)x &; & n=2k-1\\
a+(k-2)x &; & n=2k
\end{cases}$$
در نتیجه:
$$a_n=\begin{cases}
a+(k-1)x &; & k= \frac{n+1}{2} \\
a+(k-2)x &; & k= \frac{n}{2}
\end{cases}$$
سپس:
$$a_n=\begin{cases}
a+( \frac{n+1}{2} -1)x &; & k= \frac{n+1}{2} \\
a+( \frac{n}{2} -2)x &; & k= \frac{n}{2}
\end{cases}$$
و پس از ساده‌سازی:
$$a_n=\begin{cases}
a+( \frac{n-1}{2})x &; & k= \frac{n+1}{2} \\
a+( \frac{n-4}{2})x &; & k= \frac{n}{2}
\end{cases}$$
تا اینجای کار توانستیم دو ضابطه برای دنباله به‌دست آوریم. یکی برای $n$های فرد ($a+( \frac{n-1}{2} )x$) و دیگری برای $n$های زوج ($a+( \frac{n-4}{2} )x$). حالا باید این دو ضابطه را تبدیل به یک ضابطه کلی کنیم که برای همهٔ جمله‌های دنباله درست باشد. برای اینکار از دنبالهٔ زیر و جملهٔ عمومی آن استفاده می‌کنیم:
$$\{A,B,A,B,A,B,A,B,...\}$$
دقت کنید که این یک دنباله با دور تکرار است ($A$ و $B$ یکی در میان تکرار می‌شوند).
جملهٔ عمومی‌اش $ \frac{(A+B)+(B-A)(-1)^n}{2} $ است. حالا فقط کافی است که ضابطه‌هایی را که به‌دست آوردیم، به‌جای $A$ و $B$ در $ \frac{(A+B)+(B-A)(-1)^n}{2} $ جای‌گذاری کنیم. ضابطه‌ای که برای $n$های فرد به‌دست آوردیم را به‌جای $A$ و ضابطه‌ای که برای $n$های زوج به‌دست آوردیم را به‌جای $B$ قرار می‌دهیم تا در نهایت جملهٔ عمومی دنبالهٔ $\lbrace a,a,a+x,a+x,a+2x,a+2x,\cdots\rbrace$، به‌دست آید:
$$ \frac{\big((a+( \frac{n-1}{2})x)+(a+( \frac{n-4}{2})x)\big)+\big((a+( \frac{n-4}{2})x)-(a+( \frac{n-1}{2})x)\big)(-1)^n}{2} $$
همچنین آن را ساده‌تر هم میتوانید کنید.
