اگر به دو پاسخی که در (اینجا کلیک کنید) و (اینجا کلیک کنید) نگاه کنید می‌توانید با دیدگاهی که در بالا گذاشتم گره از این پاسخ که برایتان اسرارآمیز است بگشائید.
گفته‌بودم که Mathematica در دستورِ FindSequenceFunction ابتدا تلاش می‌کند که یک دنبالهٔ بازگشتیِ ساده (در نتیجه خطی‌ها در اولویت هستند) پیدا کند که چند جملهٔ نخستش با چند عددی که دادید یکسان باشد. سپس تلاش می‌کند که برای دنبالهٔ بازگشتی‌ای که پیدا کرده‌است یک جملهٔ سرراست بدهد، برای نمونه اگر دنبالهٔ باطگشتی خطی است از پست دومی که در بالا اشاره کردم استفاده می‌کند و با کمک چندجمله‌ای سرشت‌نما جملهٔ سرراست را محاسبه می‌کند. اکنون این فرآیند را خودمان دستی انجام دهیم. ابتدا از نرم‌افزار Mathematica با کمک دستورِ FindLinearRecurrence که به معنای «رابطهٔ بازگشتیِ خطی پیدا کن» است نگاه می‌کنیم که چه دنبالهٔ بازگشتیِ خطی‌ای Mathematica می‌تواند برای عددهایی که داده‌اید پیدا کند.
FindLinearRecurrence[{-2,-4,8,16,-32,-64,128,256,-512,-1024}]
خروجیِ دریافتی‌تان به این شکل خواهد بود.
{0,-4}
این به چه معنا است؟ به این معنا است که اگر به شکلِ کلیِ یک دنبالهٔ بازگشتیِ خطی که در پاسخ دوم اشاره شده در بالا آورده‌ام نگاه کنید به ترتیب از چپ به راست ضریب‌های \alpha_i را به شما می‌دهد و تعداد این عددها، عدد d است. پس اگر ضریبی صفر است، آن را هم می‌آورد. در نتیجه این خروجی را باید این چنین بخوانید.
\begin{align}
& a_n=(0)a_{n-1}+(-4)a_{n-2}\\
& \Longrightarrow a_n=-4a_{n-2}
\end{align}
و به طبع نیاز به دو جملهٔ معلوم نیز دارید، برای نمونه a_1=-2 و a_2=-4 را بردارید. اکنون چندجمله‌ای سرشت‌نما را تشکیل دهید.
f(x)=x^2+4
به روشنی دو ریشهٔ مختلط مزدوج دارد r_1=-2i و r_2=2i. دو راه برای نوشتن جملهٔ سرراست در پاسخ دوم اشاره‌شده در بالا برایتان در حالت مختلط بودن ریشه‌ها معرفی کردم، یکی استفاده از \sin و \cos و دیگری خود این ریشه‌ها. بیاییم از خود این عددهای مختلط استفاده کنیم. باید دستگاه زیر را حل کنیم.
\left\lbrace\begin{array}{l}
c_1(-2i)+c_2(2i)=-2\\
c_1(-2i)^2+c_2(2i)^2=-4
\end{array}\right.
که داریم c_1=\frac{1}{2}-\frac{i}{2} و c_2=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}. اکنون با جایگذاری و ساده‌کردن به همان ضابطه‌ای که در متن پرسش برای خروجی نرم‌افزار اشاره کردید می‌رسید.
\begin{align}
a_n &= (\frac{1}{2}-\frac{i}{2})(-2i)^n+(\frac{1}{2}+\frac{i}{2})(2i)^n\\
&=2^{n-1}\big((1-i)(-i)^n+(1+i)(i)^n\big)\\
&=2^{n-1}(1+i)\big((-i)^{n+1}+(i)^n\big)
\end{align}
اینک برای سرگرمی اگر بخواهید از روش \sin و \cosای پیش بروید، به شکل زیر میشود.
\begin{align}
& \frac{\pi}{2}\in\arccos(0)\cap\arcsin(1)\\
& |\pm 2i|=\sqrt{0^2+2^2}=2\\
& \left\lbrace\begin{array}{l}
2c_1'\cos(\frac{pi}{2})+2c_2'\sin(\frac{\pi}{2})=-2\\
4c_1'\cos(\frac{2\pi}{2})+4c_2'\sin(\frac{2\pi}{2})=-4
\end{array}\right.\Longrightarrow c_1'=1,\;c_2'=-1\\
& a_n=2^n\big(\cos(n\frac{\pi}{2})-\sin(n\frac{\pi}{2})\big)
\end{align}
احتمالا می‌دانید که دنبالهٔ \cos(n\frac{\pi}{2})-\sin(n\frac{\pi}{2}) یک دنبالهٔ دوره‌ای با طول دورهٔ ۴ است که ابتدا ۲ تا منفی یک و سپس دو تا مثبت یک می‌دهد و همینطور این چهار عدد پشت‌سرهم ظاهر می‌شوند.
