به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
75 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

سلام خدمت تمام دوستان و اساتید سایت محفل ریاضی

جملهٔ عمومی دنبالهٔ $\lbrace-2,-4,8,16,-32,-64,128,256,-512,-1024,...\rbrace$ را در نرم‌افزار Mathematica با استفاده از دستور FindSequenceFunction محاسبه می‌کنیم. نرم‌افزار به ما جمله‌عمومی زیر را می‌دهد:

$$(i+1) 2^{n-1} ( (-i)^{n+1} +i^n)$$

که در این فرمول $i$ عدد موهومی $i$ می‌باشد.

اما پرسش اصلی من این است که چرا اصلاً در این فرمول از عدد موهومی $i$ استفاده شده است؟ اگر می‌توانید اثباتی برای این فرمول ارایه دهید.

باتشکر.

توسط AmirHosein (10,354 امتیاز)
@Amirmza اگر یادتان باشد در پاسخ پرسش دیگری‌تان اشاره کردم که Mathematica در واقع در حال انجام دو الگوریتم پشت سر هم است. ابتدا یک دنبالهٔ بازگشتی برایتان پیدا می‌کند (که نشان داده‌نشده‌است) سپس برای این دنبالهٔ بازگشتی یک جملهٔ عمومی محاسبه می‌کند. معمولا برای پیدا کردن جمله عمومی برخی دنباله‌های بازگشتی بویژه خطی شما یک معادلهٔ چندجمله‌ای حل می‌کنید. احتمال دارد که در چنین گامی عدد موهومی بیرون آمده‌باشد. چون چک نکردم فعلا به صورت دیدگاه گذاشتم. می‌توانید خودتان چک کنید. از آقای @good4us هم شاید بتوانید کمک بگیرید، اگر وقت داشته‌باشند.
توسط good4us (3,251 امتیاز)
+1
@Amirmza من ضمن تشکر از آقای @AmirHosein راه دیگری برای این دنباله دارم که اگر مایل باشید ارسال می کنم.
توسط
@good4us بله حتماً.

3 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+2 امتیاز
توسط AmirHosein (10,354 امتیاز)
انتخاب شده توسط kazomano
 
بهترین پاسخ

اگر به دو پاسخی که در (اینجا کلیک کنید) و (اینجا کلیک کنید) نگاه کنید می‌توانید با دیدگاهی که در بالا گذاشتم گره از این پاسخ که برایتان اسرارآمیز است بگشائید.

گفته‌بودم که Mathematica در دستورِ FindSequenceFunction ابتدا تلاش می‌کند که یک دنبالهٔ بازگشتیِ ساده (در نتیجه خطی‌ها در اولویت هستند) پیدا کند که چند جملهٔ نخستش با چند عددی که دادید یکسان باشد. سپس تلاش می‌کند که برای دنبالهٔ بازگشتی‌ای که پیدا کرده‌است یک جملهٔ سرراست بدهد، برای نمونه اگر دنبالهٔ باطگشتی خطی است از پست دومی که در بالا اشاره کردم استفاده می‌کند و با کمک چندجمله‌ای سرشت‌نما جملهٔ سرراست را محاسبه می‌کند. اکنون این فرآیند را خودمان دستی انجام دهیم. ابتدا از نرم‌افزار Mathematica با کمک دستورِ FindLinearRecurrence که به معنای «رابطهٔ بازگشتیِ خطی پیدا کن» است نگاه می‌کنیم که چه دنبالهٔ بازگشتیِ خطی‌ای Mathematica می‌تواند برای عددهایی که داده‌اید پیدا کند.

FindLinearRecurrence[{-2,-4,8,16,-32,-64,128,256,-512,-1024}]

خروجیِ دریافتی‌تان به این شکل خواهد بود.

{0,-4}

این به چه معنا است؟ به این معنا است که اگر به شکلِ کلیِ یک دنبالهٔ بازگشتیِ خطی که در پاسخ دوم اشاره شده در بالا آورده‌ام نگاه کنید به ترتیب از چپ به راست ضریب‌های $\alpha_i$ را به شما می‌دهد و تعداد این عددها، عدد $d$ است. پس اگر ضریبی صفر است، آن را هم می‌آورد. در نتیجه این خروجی را باید این چنین بخوانید.

$$\begin{align} & a_n=(0)a_{n-1}+(-4)a_{n-2}\\ & \Longrightarrow a_n=-4a_{n-2} \end{align}$$

و به طبع نیاز به دو جملهٔ معلوم نیز دارید، برای نمونه $a_1=-2$ و $a_2=-4$ را بردارید. اکنون چندجمله‌ای سرشت‌نما را تشکیل دهید.

$$f(x)=x^2+4$$

به روشنی دو ریشهٔ مختلط مزدوج دارد $r_1=-2i$ و $r_2=2i$. دو راه برای نوشتن جملهٔ سرراست در پاسخ دوم اشاره‌شده در بالا برایتان در حالت مختلط بودن ریشه‌ها معرفی کردم، یکی استفاده از $\sin$ و $\cos$ و دیگری خود این ریشه‌ها. بیاییم از خود این عددهای مختلط استفاده کنیم. باید دستگاه زیر را حل کنیم.

$$\left\lbrace\begin{array}{l} c_1(-2i)+c_2(2i)=-2\\ c_1(-2i)^2+c_2(2i)^2=-4 \end{array}\right.$$

که داریم $c_1=\frac{1}{2}-\frac{i}{2}$ و $c_2=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}$. اکنون با جایگذاری و ساده‌کردن به همان ضابطه‌ای که در متن پرسش برای خروجی نرم‌افزار اشاره کردید می‌رسید.

$$\begin{align} a_n &= (\frac{1}{2}-\frac{i}{2})(-2i)^n+(\frac{1}{2}+\frac{i}{2})(2i)^n\\ &=2^{n-1}\big((1-i)(-i)^n+(1+i)(i)^n\big)\\ &=2^{n-1}(1+i)\big((-i)^{n+1}+(i)^n\big) \end{align}$$

اینک برای سرگرمی اگر بخواهید از روش $\sin$ و $\cos$ای پیش بروید، به شکل زیر می‌شود.

$$\begin{align} & \frac{\pi}{2}\in\arccos(0)\cap\arcsin(1)\\ & |\pm 2i|=\sqrt{0^2+2^2}=2\\ & \left\lbrace\begin{array}{l} 2c_1'\cos(\frac{pi}{2})+2c_2'\sin(\frac{\pi}{2})=-2\\ 4c_1'\cos(\frac{2\pi}{2})+4c_2'\sin(\frac{2\pi}{2})=-4 \end{array}\right.\Longrightarrow c_1'=1,\;c_2'=-1\\ & a_n=2^n\big(\cos(n\frac{\pi}{2})-\sin(n\frac{\pi}{2})\big) \end{align}$$

احتمالا می‌دانید که دنبالهٔ $\cos(n\frac{\pi}{2})-\sin(n\frac{\pi}{2})$ یک دنبالهٔ دوره‌ای با طول دورهٔ ۴ است که ابتدا ۲ تا منفی یک و سپس دو تا مثبت یک می‌دهد و همینطور این چهار عدد پشت‌سرهم ظاهر می‌شوند.

+3 امتیاز
توسط good4us (3,251 امتیاز)

این یک دنباله ای هندسی است که علامت ها دو در میان تغییر می کند جمله عمومی آن برابر است با: $(n \in N)$

$ u_{n}=- \sqrt{2}sin( \frac{(2n-1) \pi }{4}) \times 2^{n} $
+2 امتیاز
توسط mdgi (1,018 امتیاز)
ویرایش شده توسط mdgi

برای اثباتش : اگر $n=4k$ انگاه حاصل برابر است با: $$(i+1)2^{4k-1}((-i)^{4k+1}+i^{4k})=(i+1)2^{4k-1}(-i+1)=2^{n}$$ اگر $n=4k+1$ آنگاه حاصل این است: $$(i+1)2^{4k}((-i)^{4k+2}+i^{4k+1})=(i+1)2^{4k}(-1+i)=-2^n$$ برای $n=4k+2$ و $n=4k+3$ نیز حاصل میشود: $-2^n$ و $2^n$.


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...