به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+5 امتیاز
393 بازدید
در دبیرستان توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

می‌خواهیم با استفاده از دستور FindSequenceFunction در نرم افزار Wolfram Mathematica دنباله‌ای بیابیم که جمله‌های شروعش برابر با عددهای آمده در زیر از چپ به راست باشد.

$$1,-1,-1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,1,1,1,1,1,-1,-1,-1,-1,-1,-1$$

تصویر ورودی‌ای که تایپ کردم و خروجی‌ای که نرم افزار به من داده‌است را در زیر آورده‌ام.

توضیحات تصویر

آیا نرم‌افزار در حال انجام اشتباهی است؟ عبارتِ آمده در خروجی به چه معناست؟

توسط mdgi (1,558 امتیاز)
+2
دنباله ای که نوشته اید چه نظمی دارد یعنی آیا می توانید بدون نرم افزار جمله عمومی اش را بنویسید؟
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
@mdgi تعداد مثبت و منهای یک‌ها یکی یکی افزایش می‌یابد، ۱ مثبت، ۲ منفی، ۳ مثبت، ۴ منفی، ۵ مثبت، ۶ منفی، ... نوشتن یک جملهٔ عمومی برایش نباید سخت باشد.

1 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+6 امتیاز
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

مشکلی در خروجی Mathematica وجود ندارد و پاسخ درست است. همانطور که در چند پست دیگر (برای نمونه اینجا کلیک کنید) به شما و دوستان‌تان گفته‌بودم، دستورِ FindSequenceFunction در Mathematica ابتدا یک دنبالهٔ بازگشتی پیدا می‌کند که در چند جملهٔ نخستش با عددهایی که داده‌اید برابر باشد (بینهایت دنباله با این ویژگی وجود دارد، یکی از اینها را که متناسب با الگوریتم تهیه‌شده‌اش ساده‌ترین است را به شما می‌دهد). سپس ممکن است دنبالهٔ بازگشتیِ یافت‌شده را بیشتر بررسی کند و یک جملهٔ عمومی سرراست به شما بدهد، ولی دلیلی ندارد که همیشه این کار را بکند. الآن خروجی‌ای که به شما داده‌است یک دنبالهٔ بازگشتی است. خروجی‌ای که گرفته‌اید به این شکل خوانده می‌شود:

$$\left\lbrace\begin{array}{l} y_{n+1}=y_n\;;\;n\geq 17\\ y_1=1\\ y_2=-1\\ y_3=-1\\ \vdots\\ y_{16}=-1 \end{array}\right.$$

سه‌نقطه دقیقا همان جمله‌های خودتان تا ۱۶اُمین جمله است که Mathematica هم یکی یکی نوشته‌است. پس از آن را همه را برابر منفی یک می‌گیرد که با ۲۱ جملهٔ ورودی شما برابر است. قسمت $y_{n+1}=y_n$ در خروجی Mathematica در واقع به شکل $-y_n+y_{n+1}=0$ بیان شده‌است که فرقی ندارد. این دنباله یک دنباله است که ۱۶ جملهٔ اولش به همان ترتیبی که خودتان داده‌اید است پس یک پاسخ درست از بینهایت پاسخ درست به پرسشی است که شما دارید «دنباله‌ای بیابید که ۱۶ جملهٔ نخستش به ترتیب فلان باشند». پس اشتباهی در پاسخ Mathematica دیده نمی‌شود.

اما برای سرگرمی بیاییم فرض کنیم به جای دادن فقط ۲۱ جمله بگوئیم، دنباله‌ای را بیابید که جمله‌هایش مثبت و منفی یک هستند به این شکل که تعداد مثبت و منفی یک‌های پشت‌سرهم به ترتیب یک واحد افزایش می‌یابد پس ۱ مثبت یک، سپس ۲ تا منفی یک، سپس ۳ تا مثبت یک و الی آخر. اینطوری گفتن، دنباله را یکتا مشخص می‌کند (نه فقط گفتن ۲۱ جملهٔ نخستش). در اینصورت خیلی ساده می‌توانید با فرمول زیر یک جمله عمومی بدهید.

$$a_n=(-1)^{1+[\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}]} $$

که $[.]$ برای گرد‌کردن به بالا استفاده شده‌است نه جزءصحیح که به پائین گرد می‌کند. در نرم‌افزار Mathematica می‌توانید این تابع را به شکل زیر بنویسید.

(-1)^(1+Ceiling[(-1+Sqrt[1+8*i])/2])

اگر می‌خواهید Mathematica یکی یکی از ۱ تا ۲۱ به ضابطهٔ بالا عدد بدهد و خروجی را نشان‌تان بدهد، دستور زیر را تایپ کنید.

For[i=1,i<=21,i++,Print[(-1)^(1+Ceiling[(-1+Sqrt[1+8*i])/2])]]

می‌توانید عدد ۲۱ را بیشتر بدهید تا بببینید که ادامه هم بر همان روندی که انتظار دارید پیش می‌رود یعنی بعد از آخرین جمله‌ای که نوشته‌اید ۷ تا مثبت یک خواهید گرفت و ... .

شاید برایتان پرسش شود که $\frac{-1+\sqrt{1+8n}}{2}$ از کجا آمده‌است، که باید بگویم با توجه به فرمول گاوس برای جمع اعداد طبیعی $\sum_{i=1}^ni=\frac{n(n+1)}{2}$ کافیست برابریِ $\frac{n(n+1)}{2}=m$ را حل کنید (که دو پاسخ دارد و ما پاسخ مثبت را برمی‌داریم) که یک برابری درجه دو با متغیر $n$ و پارامتر $m$ است. بقیهٔ ایده را هم خودتان احتمالا متوجه شده‌باشید.

توسط A-math-lover (777 امتیاز)
+1
@AmirHosein ببخشید من بخشی از این پاسخ‌تان را متوجه نمی‌شوم، چرا از فرمول گاوس استفاده کردید؟ و چرا یک معادله با فرمول گاوس تشکیل دادید و برابر با $m$ قرار دادید و برحسب $n$ حل کردید‌؟ لطفاً بیشتر توضیح بدهید. ممنون.
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+2
@Am.s علامت جمله پس از چه اندیس‌هایی تغییر می‌کند؟ پس از اندیس ۱، اندیس ۱+۲، اندیس ۱+۲+۳، اندیس ۱+۲+۳+۴، ... این اندیس‌ها چه هستند؟ جمع عددهای طبیعی از ۱ تا $n$. فرمول گاوس برای جمع عددهای طبیعی منظور است که برابر است با $\frac{n(n+1)}{2}$. این از پاسخ پرسش نخست‌تان.
اینک پرسش دوم‌تان. به شما می‌گویند جملهٔ ۵۰اُم چه می‌شود؟ می‌دانید که جمله‌ها به شکل منهای یک به توان یک چیزی هستند ولی این چیز باید بعد از هر جهش یک واحد اضافه شود نه به ازای هر یک جمله یک واحد اضافه شود. هر بار که به یک عدد که به شکل $\frac{n(n+1)}{2}$ است یعنی $m$ها می‌رسید، یک واحد قرار است اضافه شود! در واقع شما ۵۰ را بین دو تا $m$ می‌گذارید و از آنجا به شمارهٔ جهش باید دست بیابید. عدد $\frac{3(3+1)}{2}$ چندمین جهش است؟ بیاییم ببینیم: جهش نخست پس از $1=\frac{1(1+1)}{2}$ است، جهش دوم پس از $3=\frac{2(2+1)}{2}$ است، ... پس شمارهٔ جهش برای $\frac{n(n+1)}{2}$ برابر با $n$ است! پس اکنون باید متوجه شده باشید چرا برابری $m=\frac{n(n+1)}{2}$ را حل کردیم. توانی که در پاسخ نهایی برای منهای یک گذاشتیم در واقع برای اندیس هر جمله می‌گردد و شمارهٔ مربوط به آخرین جهش پیش از آن اندیس را می‌یابد.
توسط A-math-lover (777 امتیاز)
+1
@AmirHosein بسیار ممنونم از اینکه وقت گران‌مای‌تان را صرف حل مشکلات من می‌کنید.
توسط A-math-lover (777 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein
+2
@AmirHosein به عنوان آخرین سؤال: شما برابریِ $\frac{n(n+1)}{2}=m$ را حل کردید و به $\frac{-1+\sqrt{8n}}{2}$ رسیدید، اما من همین برابری را حل می‌کنم و به $\frac{-1+\sqrt{8n+1}}{2}$ می‌رسم، مشکل از کجاست؟
توسط AmirHosein (19,620 امتیاز)
+2
@Am.s مشکلی نیست، اشتباه تایپی بوده‌است که بعلاوهٔ یک در زیر رادیکال در هنگام تایپ فرمول ریاضی در پاسخ جا افتاده‌است. اگر به کد Mathematicaای که گذاشته‌بودم نگاه می‌کردید بعلاوهٔ یک را در کد گذاشته‌بودم.

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...