به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
239 بازدید
در دبیرستان توسط
دوباره دسته بندی کردن توسط AmirHosein

سلام، دوستان و اساتید کسی روش یا فرمولی را می‌شناسد که باهاش بشود جمله عمومی دنباله‌ای با این فرم بدست آورد که اعضایش یکی‌درمیان تغییر کنند؟ به عبارت دیگر اگر $m$ و $n$ دو عدد دلخواه باشند آنگاه دنباله‌مان به شکل زیر باشد

$$\lbrace m,n,m,n,m,n,m,n,\cdots,m,n,m,n,\cdots\rbrace$$

با تشکر.

4 پاسخ

می توانید به پاسخ(ها) امتیاز دهید یا آن را انتخاب کنید.

+5 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط Math.Al

دنباله برای جمله‌های با شمارۀ جملۀ زوج، برابر $n$ و برای جمله‌های با شمارۀ جملۀ فرد، برابر $m$ است. پس به کمک $(-1)^x$ که در این مواقع کاربرد زیادی دارد، می‌توانیم جملۀ عمومی زیر را به‌دست آوریم.

$$a_x = \dfrac{((-1)^x + 1)n - ((-1)^x - 1)m}{2}$$

و همچنین $x \in \mathbb{N}$.

توسط
امیرحسین@ آیا می‌توانید اثباتی برای این فرمول ارایه دهید؟
توسط mdgi (1,553 امتیاز)
+1
اثباتش بدیهیه
+4 امتیاز
توسط erfanm (13,805 امتیاز)
ویرایش شده توسط Math.Al

فرمول زیر جواب است.

$$a_x = \bigg(-\bigg\lfloor \bigg\lfloor \frac{x}{2} \bigg\rfloor- \frac{x}{2} \bigg\rfloor\bigg) m-\bigg(\bigg\lfloor\bigg\lfloor \frac{x-1}{2} \bigg\rfloor- \frac{x-1}{2} \bigg\rfloor\bigg) n$$
+3 امتیاز
توسط
ویرایش شده توسط Math.Al

به نام خدا

برای به‌دست آوردن جملۀ عمومیِ این دنباله، یک روش آن است که اول برایش یک رابطۀ بازگشتی بنویسید و بعد آن رابطۀ بازگشتی را حل کنید تا در نهایت جملۀ عمومی دنباله به‌دست آید.

رابطۀ بازگشتی این دنباله به این صورت است:

$$\large a_x=a_{x-2},a_1=m,a_2=n$$

با حل این رابطۀ بازگشتی، جملۀ عمومی این دنباله به‌صورت زیر می‌شود:

$$\boxed{\color{black}{a_x= \frac{(m+n)+((n-m)(-1)^x)}{2}}}$$
+2 امتیاز
توسط Math.Al (1,461 امتیاز)

به نام خدا

$$\lbrace m,n,m,n,m,n,m,n,...\rbrace$$

با مقداری دقت می‌توان فهمید که:

جملهٔ اول را می‌توان به‌شکل $m= \frac{m+n-n+m}{2} $ نوشت.

جملهٔ دوم را می‌توان به‌شکل $n= \frac{m+n+n-m}{2} $ نوشت.

که یعنی در حالت کلی، جمله‌های با شمارهٔ جملهٔ فرد، برابر با $\frac{m+n-n+m}{2}$ هستند و جمله‌های با شمارهٔ جملهٔ زوج، برابر با $\frac{m+n+n-m}{2}$ هستند.

خوب، حالا برای این‌که این دو عبارت را تبدیل به‌یک جملهٔ عمومی کنیم، باید از $(-1)^x$ استفاده کنیم. با کمی دقت می‌توان فهمید که جملهٔ عمومی برابر می‌شود با ($x$ شمارهٔ جمله و $a_x$ جملهٔ عمومی می‌باشد):

$$a_x= \frac{(m+n)+(n-m)(-1)^x}{2}$$


حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...