$m$ و $n$ را عددهای دلخواه بردارید. جمله عمومی دنباله ای که عضوهایش یکی در میان $m$ و $n$ بشوند چیست؟

Question

سلام، دوستان و اساتید کسی روش یا فرمولی را می‌شناسد که باهاش بشود جمله عمومی دنباله‌ای با این فرم بدست آورد که اعضایش یکی‌درمیان تغییر کنند؟ به عبارت دیگر اگر $m$ و $n$ دو عدد دلخواه باشند آنگاه دنباله‌مان به شکل زیر باشد

$$\lbrace m,n,m,n,m,n,m,n,\cdots,m,n,m,n,\cdots\rbrace$$

با تشکر.

Answer 1

دنباله برای جمله‌های با شمارۀ جملۀ زوج، برابر $n$ و برای جمله‌های با شمارۀ جملۀ فرد، برابر $m$ است. پس به کمک $(-1)^x$ که در این مواقع کاربرد زیادی دارد، می‌توانیم جملۀ عمومی زیر را به‌دست آوریم.

$$a_x = \dfrac{((-1)^x + 1)n - ((-1)^x - 1)m}{2}$$

و همچنین $x \in \mathbb{N}$.

Comments

امیرحسین@ آیا می‌توانید اثباتی برای این فرمول ارایه دهید؟

---

اثباتش بدیهیه

Answer 2

فرمول زیر جواب است.

$$a_x = \bigg(-\bigg\lfloor \bigg\lfloor \frac{x}{2} \bigg\rfloor- \frac{x}{2} \bigg\rfloor\bigg) m-\bigg(\bigg\lfloor\bigg\lfloor \frac{x-1}{2} \bigg\rfloor- \frac{x-1}{2} \bigg\rfloor\bigg) n$$

Answer 3

به نام خدا

برای به‌دست آوردن جملۀ عمومیِ این دنباله، یک روش آن است که اول برایش یک رابطۀ بازگشتی بنویسید و بعد آن رابطۀ بازگشتی را حل کنید تا در نهایت جملۀ عمومی دنباله به‌دست آید.

رابطۀ بازگشتی دنباله به‌صورت زیر است:

$$a_x=a_{x-2},\ a_1=m,\ a_2=n$$

با حل این رابطۀ بازگشتی، جملۀ عمومی دنباله به‌صورت زیر می‌شود:

$$\boxed{\color{black}{a_x= \frac{(m+n)+((n-m)(-1)^x)}{2}}}$$

Answer 4

به نام خدا

$$\lbrace m,n,m,n,m,n,m,n,...\rbrace$$

با مقداری دقت می‌توان فهمید که:

جملهٔ اول را می‌توان به‌شکل $\large m= \frac{m+n-n+m}{2}$ نوشت.

جملهٔ دوم را می‌توان به‌شکل $\large n= \frac{m+n+n-m}{2}$ نوشت.

که یعنی در حالت کلی، جمله‌های با شمارهٔ جملهٔ فرد، برابر با $\frac{m+n-n+m}{2}$ هستند و جمله‌های با شمارهٔ جملهٔ زوج، برابر با $\frac{m+n+n-m}{2}$ هستند.

اکنون برای اینکه این دو عبارت را تبدیل به یک جملهٔ عمومی کنیم، باید از $(-1)^x$ استفاده کنیم. با کمی دقت می‌توان فهمید که جملهٔ عمومی برابر می‌شود با ($x$ شمارهٔ جمله و $a_x$ جملهٔ عمومی می‌باشد):

$$a_x= \frac{(m+n)+(n-m)(-1)^x}{2}$$