آیا بین تفاضل دو جملهٔ متوالیِ یک دنباله و مشتق تابعِ جملهٔ عمومی آن رابطه ای وجود دارد؟

Question

اگر یک دنباله را مانند یک تابع ببینیم و بررسی‌ کنیم (مثلا دنباله‌ی حسابی مانند تابع خطی و دنباله‌ی توان دو مانند تابع درجه دو) چه ارتباطی بین مشتق این تابع (یا در واقع مشتق جمله عمومی دنباله) و اختلاف هر دو جمله‌ی متوالی این دنباله وجود دارد؟ می‌دانیم مشتق یک تابع از رابطه‌ی زیر بدست می‌آید:

$$(\frac{Y_2-Y_1} {X_2-X_1})$$ اختلاف X ها در هر دو جمله‌ی متوالی برابر با 1 می‌شود،پس مشتق تابع،برابر با اختلاف هر دو جمله‌ی متوالی می‌شود. برای مثال در یک تابع درجه دو به شکل $an^2+bn+c$ مشتق $2an+b$ می‌شود که باید برابر با اختلاف هر دو جمله‌ی متوالی در دنباله شود. اما اگر دو جمله‌ی متوالی را $t_n$ و $t_{n+1}$ در نظر بگیریم،حاصل تفریق این دو جمله برابر با $2an+b+a$ می‌شود و اگر دو جمله $t_{n-1}$ و $t_n$ در نظر بگیریم،حاصل تفریق این دو $2an+b-a$ می‌شود.

چرا حاصل تفریق‌ها با هم برابر نمی‌شود؟

چرا حاصل تفریق‌ها با مشتق تابع برابر نمی‌شود؟

Answer 1

در مشتق شما مخرج را به صفر میل می‌دهید، کسری که در متن پرسش نوشتید به تنهایی برابر با تعریف مشتق نیست! اگر قرار دهید $y=f(x)$ آنگاه تعریف مشتق در نقطهٔ $x=x_0$ که با $y'\mid_{x=x_0}$ یا $f'(x_0)$ نمایش داده می‌شود برابر است با $\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ توجه کنید که نگفته‌ایم برای دو نقطهٔ دلخواهِ $x_1$ و $x_2$ بدون هیچ ارتباطی با $x_0$ همینطوری بردارید و کسرِ $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ را محاسبه کنید! بلکه باید دو نقطه پیرامون $x_0$ بردارید و سپس از حد استفاده کنید و این دو نقطه را بیشتر و بیشتر به $x_0$ نزدیک کنید که خب یکی از این دو را خود $x_0$ برداشته‌ایم تا عبارت ساده‌تر شود و تنها یک نقطه را میل دهیم. در هر دو صورت باید نقطه‌ها را همینطور مداوم به $x_0$ نزدیک کنیم و حاصلِ مشتق برابر با هیچ یک از کسرها نمی‌شود، بلکه برابر با حدِ دنباله‌ای که با این کسرها می‌سازیم می‌شود.

پس آن برای مثالی هم که نوشتید و تعجب کردید که چرا برابر نیستند تناقضی ندارد و قرار هم نبوده‌است که برابر باشند.

برویم به عنوان پرسش‌تان، ارتباط بین تفاضل دو جملهٔ متوالیِ یک دنباله و مشتق جمله‌عمومیِ دنباله چیست؟ در حالتِ کلی هیچی. چون مشتق یعنی نسبت تفاضل زمانی‌که مخرج به صفر میل کند ولی تفاضل دو جمله یک کسر ثابت است با مخرجِ ۱. مخرج ۱ یک عدد ثابت است و به صفر میل نمی‌کند! پس دلیلی هم برای وجود یک رابطه نیست. تفاضل دو جملهٔ یک دنبالهٔ حقیقی‌مقدار همواره حقیقی‌است در حالی که مشتق جملهٔ عمومی آن می‌توان مختلط شود! برای نمونه $a_n=\lbrace (-1)^n\rbrace_{n=1}^\infty$ را در نظر بگیرید. تفاضل هر دو جملهٔ پشت‌سرهمِ آن برابر با ۲ یا $-2$ می‌شود. ولی مشتقِ $(-1)^x$ برابر با $\pi i(-1)^n$ می‌شود که $i$ عددِ موهومی مختلط است. حتی بیشتر! یک دنباله، دارای جملهٔ عمومیِ یکتا نیست شما می‌توانید دو تابع متفاوت پیدا کنید که هر دو بر روری عددهای طبیعی برابر باشند ولی در بازه‌های بین عددهای طبیعی نابرابر باشند. برای نمونه همان دنبالهٔ دوره‌ایِ $-1$ و 1 را در نظر بگیرید که با $-1$ شروع می‌شود و یک در میان تغییر می‌کند. یک جملهٔ عمومی $(-1)^n$ بود که مشتقش مختلط می‌شد. یک جملهٔ عمومیِ دیگر برای این دنباله $b_n=\cos(\pi x)$ است که مشتقش $-\pi\sin(\pi x)$ می‌شود که حقیقی است! پس حتی بدتر، نه تنها به خاطر اینکه تقاضلِ ثابت تعریف مشتق نیست، بلکه حتی به خاطر اینکه جملهٔ عمومیِ یک دنباله تابعی یکتا نیست، هیچ دلیلی برای برابری یا وجود رابطهٔ همیشگی بین تفاضل دو جملهٔ یک دنباله و مشتق جمله‌عمومی‌اش وجود ندارد.