به نام خدا
شکل کلی جملهٔ عمومی یک دنباله از درجهٔ $m$ ($m\in\mathbb{W}$)، بهصورت یک چندجملهایِ $m+1$-جملهای برحسب $n$ ($n\in\mathbb{N}$) است که به شکل زیر میباشد:
$$t_n = a_mn^m + a_{m-1}n^{m-1} + a_{m-2}n^{m-2} + \cdots + a_1n + a_0$$
دقت کنید که $t_n$ جملهٔ عمومی، $n$ شمارهٔ جمله و $a_0$ تا $a_m$، ضرایب چندجملهای جملهٔ عمومی دنباله هستند که باید متناسب با دنبالهتان با تشکیل یک دستگاه معادلهٔ $m+1$ معادله و $m+1$ مجهول بهدستشان بیاورید.
در سؤال شما، $m$ برابر با ۴ میباشد. پس شکل کلی جملهٔ عمومی دنباله بهصورت زیر است:
$$t_n = a_4n^4+a_3n^3+a_2n^2+a_1n+a_0$$
برای بهدست آوردن ضرایب $a_0$ تا $a_4$، فرض کنید که دنبالهٔ درجهٔ چهارتان به شکل زیر باشد:
$$t_1, t_2, t_3, t_4, t_5, ...$$
که $t_1$ تا $t_5$ جملات اول تا پنجم دنباله هستند. سپس دستگاه معادلهٔ پنج معادله و پنج مجهول زیر را تشکیل دهید:
$$\begin{cases}t_1 = a_4+a_3+a_2+a_1+a_0 \\t_2 = 16a_4+8a_3+4a_2+2a_1+a_0 \\t_3 = 81a_4+27a_3+9a_2+3a_1+a_0 \\t_4 = 256a_4+64a_3+16a_2+4a_1+a_0 \\t_5 = 625a_4+125a_3+25a_2+5a_1+a_0 \end{cases} $$
با حل این دستگاه و بهدست آوردن مقادیر $a_0$ تا $a_4$ و قرار دادن آنها در شکل کلی، جملهٔ عمومی دنبالهتان بهدست میآید.
