Question

آیا روشی برای یافتن الگوی دنباله درجه 3 وجود دارد؟

به‌طور مثال جملهٔ عمومی دنبالهٔ $0,1,10,33,...$ که یک دنبالهٔ درجهٔ 3 هست با چه روشی پیدا می‌شود؟

Comments

این پرسش رو بیبینید.

http://math.irancircle.com/10410/%D8%AC%D9%85%D9%84%D9%87-%D8%B9%D9%85%D9%88%D9%85%DB%8C-%D8%AF%D9%86%D8%A8%D8%A7%D9%84%D9%87%24-1-0-4-22-118-%24%DA%86%DB%8C%D8%B3%D8%AA%D8%9F

Answer 1

در دنیاله ها با درجه n وقتی اختلاف جمله ها به دست آوریم و سپس اختلاف آنها را (به تعدادn) به عدد ثابتی می رسیم . جملات دنباله رو به صورت پارامتری می نویسیم و اختلاف ها را به دست می آوریم تا به عدد ثابت برسیم و سپس در دنباله داده شده هم همین کار را می کنیم و ضرایب را به دست می آوریم.(برای راحتی از اولین عبارت ها استفاده می کنیم) فرم کلی دنباله درجه3: $a x^{3}+b x^{2}+c x+d $

جملات اول تا پنجم رو می نویسیم (4 جمله کافی است):

$ a+b+c+d,8a+4b+2c+d,27a+9b+3c+d,64a+16b+4c+d,125a+25b+5c+d $

حال اختلاف ها به دست می آوریم:

$ 7a+3b+c,19a+5b+c,37a+7b+c,61a+9b+c $

و سپس اختلاف آنها (اختلاف اختلاف ها):

$ 12a+2b,18a+2b,24a+2b $

و در آخر:

$6a , 6a$

به مقدار ثابت رسیدیم حالا عبارت های زیر رو در نظر می گیریم و با سئوال تطبیق می دیم:

(a+b+c+d , 7a+3b+c , 12a+2b , 6a)

$0 , 1 , 10 , 33 ,...$ ,

$ 1 , 9 , 23 $ , $8 , 14$ , $6$ پس مقدار a یک است و $b=-2 $ , c صفر و d هم یک است

دنباله: $ x^{3}-2 x^{2}+1 $

برای حل فقط کافی است عبارت هایی را که در آخر در پارانتز نوشتم را حفظ کنید و این روش برای تمام دنباله ها با درجه n درست است

Comments

لطفا از امکان تایپ ریاضی موجود استفاده کنید. با جزئیات توضیح دهید.

---

کامل توضیح دادم و تایپ کردم

Answer 2

به نام خدا

فرم کلی جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ درجهٔ $3$ به‌صورت $an^3+bn^2+cn+d$ است.

برای به‌دست آوردن جملهٔ عمومی یک دنباله درجهٔ $3$ روش‌های مختلفی وجود دارد که یکی از این روش‌ها این است که ابتدا یک دستگاه معادلات خطیِ $4$ معادله و $4$ مجهول را به شکل زیر تشکیل دهید:

$$\begin{cases}a+b+c+d=t_1 &\\8a+4b+2c+d=t_2 &\\27a+9b+3c+d=t_3\\64a+16b+4c+d=t_4\end{cases} $$

که $t_1$، $t_2$، $t_3$ و $t_4$ به‌ترتیب جملات اول تا چهارم دنبالهٔ درجهٔ $3$یِ مورد نظر ما هستند. پس باید جملات اول تا چهارم دنبالهٔ درجهٔ $3$یِ مورد نظر خود را به‌ترتیب به‌جای $t_1$، $t_2$، $t_3$ و $t_4$ در این دستگاه معادلات قرار دهید و $a$، $b$، $c$ و $d$ را از این دستگاه معادلات به‌دست آورید و در فرم کلی جملهٔ عمومی یک دنبالهٔ درجهٔ $3$ (یعنی $an^3+bn^2+cn+d$) قرار دهید.