به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+3 امتیاز
1,880 بازدید
سوال شده در دبیرستان توسط alineysi
ویرایش شده توسط erfanm

جمله عمومی دنباله$-1,0,4,22,118,...$ چیست؟ میخوام با راه کلی باشه یعنی از حدس و آزمایش استفاده نکنم. راه حل کلی جمله nام چیست؟ اگر خطی یا درجه دوم یا سوم باشند راحت است.

2 پاسخ

+4 امتیاز
پاسخ داده شده توسط amirabbas
انتخاب شده توسط alineysi
 
بهترین پاسخ

اگر راه حلی کلی برای یافتن ضابطه ای برای این پنج عدد باشد پس برای شش عدد هم می توان از آن راه استفاده کرد و چون عدد ششم هر عددی می تواند باشد پس بی نهایت ضابطه برای این پنج عدد وجود دارد.چون 5 داده داریم به دنبال دنباله ای از درجه 4 می گردیم که می دانیم یکتا است.فرض کنید نام دنباله ای که به دنبال آن هستیم $a_n$ است.

$$ \begin{align} i && 1 && 2 && 3 && 4 && 5\\ a_i && -1 && 0 && 4 && 22 && 118 \end{align} $$

نمودار دنباله

سعی می کنیم با یک چند جمله ای درجه 4 ضابطه ای برای این دنباله پیدا کنیم.

دنباله زیر را در نظر بگیرید.

$$ b_n = p_1n^4 + p_2n^3 + p_3n^2 + p_4n + p_5 $$

در واقع باید ثابت های بالا را طوری پیدا کنیم که دنباله حاصل نزدیک ترین دنباله به داده های ما باشد.می توانیم ابتدا مجموع اختلافات این دنباله با داده های خودمان را بدست آورده و سپس بوسیله مشتق آن را کمینه کنیم.بدین منظور از تابع زیر به عنوان تابعی متناظر با دنباله بالا استفاده می کنیم.

$$ f(x) = p_1x^4 + p_2x^3 + p_3x^2 + p_4x + p_5 $$

به ازای هر $n$ اختلاف $f(n)$ از دنباله $a_n$ بدست می آوریم.

$$ \sum_{i=1}^5{(f(i) - a_i)} $$

برخی از این اختلاف ها مثبت و برخی از آن ها منفی هستند پس امکان دارد منفی ها مثبت ها را از بین ببریند.در واقع برای ما اندازه اختلاف این دو مهم است. می توانیم برای حل این مشکل از قدرمطلق استفاده کنیم ولی چون بعدا می خواهیم از حاصل مشتق بگیریم ساده تر آن است که از مربع اختلافات استفاده کرده و سپس حاصل را کمینه کرد. به همین دلیل این روش را کمترین مربعات می نامند.مجموع این مربعات را $S$ می نامیم.

$$S = \sum_{i=1}^5{(f(i) - a_i)^2} $$

حالا کافی است کمینه اختلاف نسبت به هر یک از ثابت های $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$ را بدست آوریم. بدین منظور از $S$ نسبت به هر یک از ثابت ها مشتق گرفته و برابر با صفر قرار می دهیم و دستگاه حاصل را حل می کنیم. برای این مثال خواهیم داشت:

$$ \begin{align} p_1 && p_2 && p_3 && p_4 && p_5\\ \frac{53}{24} && -\frac{81}{4} && \frac{1627}{24} && -\frac{375}{4} && 43 \end{align} $$

اگر $f(x)$ را با این ثابت ها رسم کنیم خواهیم داشت: نمودار تابع بدست آمده

برای کسب اطلاعات بیشتر به کتاب آنالیز عددی آقای بابلیان انتشارات فاطمی مراجعه کنید.

دارای دیدگاه توسط alineysi
ممنون از وقتی که گذاشتید.
+3 امتیاز
پاسخ داده شده توسط Neseli

اگر نوع دنباله رو ندونین بینهایت جواب وجود دارد به عنوان مثال $$ a_{n} = n! -2$$ $$a_{n}= \frac{53}{24} n^{4}-\frac{81}{4} n^{3}+\frac{40675}{600} n^{2}-\frac{375}{4}n+43 $$

دارای دیدگاه توسط alineysi
–1
برای فاکتوریل خودم حدس زدم .شما برای جمله عمومی دومی از روش خاصی استفاده کردید؟
اگر هست ممنون میشم توضیح دهید.
بخاطر جواب دهی ممنون.
دارای دیدگاه توسط alineysi
ممنون.ایا می توان از روش درون یابی به جمله عمومی دست پیدا کرد؟
اگه میشه ممنون میشم توضیح دهید
سپاس
دارای دیدگاه توسط Neseli
@alineysi اگر جمله ی عمومی یک چند جمله ای باشد اختلافات هر جمله را با جمله قبلی حساب کنید و این کار را تا جایی انجام بدید که تنها یک جمله یا تمام جملات برابر بشوند. تعداد دفعاتی که این الگوریتم را انجام دادین میشه درجه چند جمله و بعد از ان تنها باید معادله هایی که از قرار دادن  n بدست می اید را برای ضرایب چند جمله حل کنید.
* این روشی که من یاد و فکر کنم تنها برای چند جمله ای ها صادق هست.
دارای دیدگاه توسط rezasalmanian
صورت کلی معادله را لطفا بنویسید

حمایت مالی


کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...