Question

جمله عمومی دنباله$-1,0,4,22,118,...$ چیست؟ میخوام با راه کلی باشه یعنی از حدس و آزمایش استفاده نکنم. راه حل کلی جمله nام چیست؟ اگر خطی یا درجه دوم یا سوم باشند راحت است.

Answer 1

اگر راه حلی کلی برای یافتن ضابطه ای برای این پنج عدد باشد پس برای شش عدد هم می توان از آن راه استفاده کرد و چون عدد ششم هر عددی می تواند باشد پس بی نهایت ضابطه برای این پنج عدد وجود دارد.چون 5 داده داریم به دنبال دنباله ای از درجه 4 می گردیم که می دانیم یکتا است.فرض کنید نام دنباله ای که به دنبال آن هستیم $a_n$ است.

$$ \begin{align} i && 1 && 2 && 3 && 4 && 5\\ a_i && -1 && 0 && 4 && 22 && 118 \end{align} $$

سعی می کنیم با یک چند جمله ای درجه 4 ضابطه ای برای این دنباله پیدا کنیم.

دنباله زیر را در نظر بگیرید.

$$ b_n = p_1n^4 + p_2n^3 + p_3n^2 + p_4n + p_5 $$

در واقع باید ثابت های بالا را طوری پیدا کنیم که دنباله حاصل نزدیک ترین دنباله به داده های ما باشد.می توانیم ابتدا مجموع اختلافات این دنباله با داده های خودمان را بدست آورده و سپس بوسیله مشتق آن را کمینه کنیم.بدین منظور از تابع زیر به عنوان تابعی متناظر با دنباله بالا استفاده می کنیم.

$$ f(x) = p_1x^4 + p_2x^3 + p_3x^2 + p_4x + p_5 $$

به ازای هر $n$ اختلاف $f(n)$ از دنباله $a_n$ بدست می آوریم.

$$ \sum_{i=1}^5{(f(i) - a_i)} $$

برخی از این اختلاف ها مثبت و برخی از آن ها منفی هستند پس امکان دارد منفی ها مثبت ها را از بین ببریند.در واقع برای ما اندازه اختلاف این دو مهم است. می توانیم برای حل این مشکل از قدرمطلق استفاده کنیم ولی چون بعدا می خواهیم از حاصل مشتق بگیریم ساده تر آن است که از مربع اختلافات استفاده کرده و سپس حاصل را کمینه کرد. به همین دلیل این روش را کمترین مربعات می نامند.مجموع این مربعات را $S$ می نامیم.

$$S = \sum_{i=1}^5{(f(i) - a_i)^2} $$

حالا کافی است کمینه اختلاف نسبت به هر یک از ثابت های $p_1, p_2, p_3, p_4, p_5$ را بدست آوریم. بدین منظور از $S$ نسبت به هر یک از ثابت ها مشتق گرفته و برابر با صفر قرار می دهیم و دستگاه حاصل را حل می کنیم. برای این مثال خواهیم داشت:

$$ \begin{align} p_1 && p_2 && p_3 && p_4 && p_5\\ \frac{53}{24} && -\frac{81}{4} && \frac{1627}{24} && -\frac{375}{4} && 43 \end{align} $$

اگر $f(x)$ را با این ثابت ها رسم کنیم خواهیم داشت:

برای کسب اطلاعات بیشتر به کتاب آنالیز عددی آقای بابلیان انتشارات فاطمی مراجعه کنید.

Comments

ممنون از وقتی که گذاشتید.

Answer 2

اگر نوع دنباله رو ندونین بینهایت جواب وجود دارد به عنوان مثال $$ a_{n} = n! -2$$ $$a_{n}= \frac{53}{24} n^{4}-\frac{81}{4} n^{3}+\frac{40675}{600} n^{2}-\frac{375}{4}n+43 $$

Comments

برای فاکتوریل خودم حدس زدم .شما برای جمله عمومی دومی از روش خاصی استفاده کردید؟
اگر هست ممنون میشم توضیح دهید.
بخاطر جواب دهی ممنون.

---

ممنون.ایا می توان از روش درون یابی به جمله عمومی دست پیدا کرد؟
اگه میشه ممنون میشم توضیح دهید
سپاس

---

@alineysi اگر جمله ی عمومی یک چند جمله ای باشد اختلافات هر جمله را با جمله قبلی حساب کنید و این کار را تا جایی انجام بدید که تنها یک جمله یا تمام جملات برابر بشوند. تعداد دفعاتی که این الگوریتم را انجام دادین میشه درجه چند جمله و بعد از ان تنها باید معادله هایی که از قرار دادن  n بدست می اید را برای ضرایب چند جمله حل کنید.
* این روشی که من یاد و فکر کنم تنها برای چند جمله ای ها صادق هست.

---

صورت کلی معادله را لطفا بنویسید

Answer 3

با توجه به جواب این سوال می تونید دنباله رو پیدا کنید که میشه:

$$ \frac{53}{24}x ^{4}- \frac{81}{4} x^{3}+ \frac{40675}{600} x^{2}- \frac{375}{4}x+43 $$