عددهای اول کوچکتر از ۱۰۰ را در هم ضرب کردهاید و ۳۶ که تجزیهاش $2^2\times 3^2$ است را با آن جمع کردهاید.
$$\begin{array}{l}
(2\times 3\times 5\times 7\times\cdots\times 97)+(2^2\times 3^2)\\
=(2\times 3)\big((5\times 7\times\cdots\times 97)+(2\times 3)\big)
\end{array}$$
تعریف کنید
$$k_1:=5\times 7\times\cdots\times 97,\;k_2:=2\times 3,\;k:=k_1+k_2$$
باقیماندهٔ بخشکردنِ یک عدد طبیعیِ $n$ بر عدد طبیعیِ دیگر $m$ را با نماد $[n]_m$ نمایش دهید که عددی بین صفر تا $m-1$ میتواند باشد (نمادگذاری انجام شده را با نمادگذاری برای نمایندهٔ ردههای همارزی مقایسه کنید). برایتان باید روشن باشد که عدد $m$ عدد $n$ را میشمارد هر گاه $[n]_m=0$ یا به سخن دیگر $n\overset{m}{\equiv}0$. و برایتان باید روشن باشد که چرا رابطهٔ زیر برقرار است.
$$\forall m\in\mathbb{N}\;:\;[k]_m=\big[[k_1]_m+[k_2]_m\big]_m $$
اکنون باید بیازماییم که برای عددهای اول ۲ تا ۹۷ آیا عددی هست که $k$ را بشمارد؟
$$\begin{array}{l}
[k_1]_2=1,\;[k_2]_2=0\overset{1\lneqq 2}{\Longrightarrow}k\overset{2}{\equiv}1\Longrightarrow 2\nmid k\\
[k_1]_3=2,\;[k_2]_3=0\overset{2\lneqq 3}{\Longrightarrow}k\overset{3}{\equiv}1\Longrightarrow 3\nmid k\\
[k_1]_5=0,\;[k_2]_5=1\overset{1\lneqq 5}{\Longrightarrow}k\overset{5}{\equiv}1\Longrightarrow 5\nmid k\\
\forall\underset{\text{prime}}{p}\in\lbrace 7,\cdots,97\rbrace\;:\;[k_1]_p=0,\;[k_2]_2=6\overset{6\lneqq p}{\Longrightarrow}k\overset{p}{\equiv}1\Longrightarrow p\nmid k\\
\therefore\not\exists\underset{\text{prime}}{p}<100\;\text{s.t.}\;p\mid k
\end{array}$$
توجه کنید که اگر جمع باقیماندههای بخشکردن $k_1$ و $k_2$ بزرگتر از عدد اول مورد نظر در هر سطر میشد باید حاصل را دوباره بر آن عدد اول بخش میکردیم. به هر حال در بالا ثابت کردیم که هیچ عدد اول کوچکتر از ۱۰۰ای $k$ را نمیشمارد پس تمام شمارندههای اول کوچکتر از ۱۰۰ برای عدد اصلی همان ۲ و ۳ هستند که یک بار هم تکرار میشوند. در نتیجه ۴ عدد میتوان کوچکتر از ۱۰۰ یافت که آن عدد را بشمارند یعنی ۱ و ۲ و ۳ و ۶. اگر میخواهید نتیجه را با نرمافزار نیز بیازمایید (چک کنید) در زیر میتوانید تجزیهٔ عدد اصلی به کمک نرمافزار Mathematica را ببینید.
FactorInteger[Product[Prime[i],{i,1,25}]+36]
حاصل:
{{2,1},{3,1},{2411,1},{3547,1},{1621133,1},{27717217722848755159291,1}}
شمارندههای اول به ترتیب از کوچک به بزرگ به همراه توانشان آوردهشدهاند. همانطور که میبینید ۴ شمارندهٔ اول دیگر بزرگتر از ۱۰۰ هستند. برای تست کردن اول بودن یک عدد در نرمافزار Mathematica از دستور PrimeQ مانند زیر استفاده کنید.
PrimeQ[27717217722848755159291]
حاصل
True
