Question

اگر دو عدد a و 90 نسبت به هم اول باشند، بزرگ ترین عددی که همواره $a^{4} - 1$ را می شمارد کدام است؟

1) 240

2) 288

3) 324

4) 480

Answer 1

سلام. در صورت مساله باید ذکر شود a مخالف 1 و کدام عدد زیر حتمن $(a^4-1)$ را میشمارد. (عدد 11 را به جای a قرار دهید).اگر a مساوی 1 باشد $a^4-1=0$ و هر عددی 0 را میشمارد .حالا اثبات برای مقادیر بزرگتر از 1:

$90=2 \times 3^2 \times 5$

پس بنابه قضیه فرما داریم:

$(a,5)=1 \Rightarrow a^4 \equiv 1(mod5)$

$(a,3)=1 \Rightarrow a^2 \equiv 1(mod3) \Rightarrow a^4 \equiv 1(mod3)$ $(a,2)=1 \Rightarrow a=2k+1 \Rightarrow a^2=4k^2+4k+1=4t+1 \Rightarrow a^4-1=16s(4s+1)$

پس 16 و 3و 5 که نسبت به هم اولند $a^4-1$ را میشمارند لذا حاصلضربشان یعنی240 عددیست که $a^4-1$ را میشمارد.