چگونه می توان اثبات کرد که گزارۀ «اگر چند عدد دو به دو نسبت به هم اول باشند، آنگاه ب.م.م همۀ آنها با هم نیز یک است»؟

Question

با سلام.

چند عدد در نظر بگیرید و آنها را با $a_1$ و $a_2$ و ... و $a_n$ نشان دهید.آیا گزاره‌های زیر برقرارند، چرا؟

الف) اگر $a_i$ها دو به دو نسبت به هم اول باشند، آنگاه ب.م.م همهٔ آنها با هم نیز، یک است.

ب) اگر ب.م.م $a_1$ تا $a_n$ برابر با یک باشد، آنگاه $a_i$ها دو به دو نسبت به هم اولند.

تلاش من: برای قسمت (ب) که عکس قسمت (الف) است، اگر ب.م.م عددهای ۳، ۴ و ۱۷ رو در نظر بگیریم، دو به دو نسبت به هم اول هستند و ب. م. م هر سۀ اینها هم یک می‌شود. اما فکر می‌کنم که عکس این گزاره صحیح نیست، مثلاً ب. م. م عددهای ۱۳ ،۱۷ و ۲۶ برابر با یک است، ولی مثلاً ب. م. م ۱۳ و ۲۶ برابر با ۱۳. پس عکس این نادرسته. اما نمی‌دانم چطور اثبات می‌شه. ممنون می‌شوم که راهنمایی کنید. با تشکر.

Comments

@ailin : با درود. درباره بخش دوم سؤالتان، یعنی سه تاییهای ۱۳،۱۷،۲۶ ، میتوان n تایی را تصور کرد که همه باهم عامل مشترک داشته باشند بجز یکی. واضح است که کل مجموعه بصورت یکجا ب.م.م ۱ را خواهد داشت. ولی اگر آن یکی را از n تایی کنار بگذاریم، آنگاه ب.م‌م آنها یک نخواهد بود.

---

@ailin اینکه ویرایش کردید خوب است ولی با حوصله و درست ویرایش کنید، برای نمونه متن قبلی که کاربران دیگر زحمت کشیدند و برایتان ویرایش کرده‌بودند را دیده بودید؟ به نظرتان عنوان به این شکلی که نوشته‌ بودید خوب است؟ مثلا گذاشتن سه تا علامت سوال کنار هم، یا «(الف)» در عنوان پرسش چه چیزی را می‌رساند و اینکه ندیدید که فرمول‌ها و نوشته‌های ریاضی را بین دو تا علامت دلار قرار می‌دهند.

Answer 1

برای ثابت کردن اینکه گزاره‌ای نادرست است یک مثال نقض کافی است که خودتان این کار را در انتهای متن پرسش‌تان انجام داده‌اید. «درست نبودنِ گزارهٔ برای هر فلان۱ داریم فلان۲» یعنی هر فلان۱ ای که بردارید باید حتما فلان۲ رخ بدهد، نه؟ خب اگر یک فلان۱ پیدا شد که فلان۲ برایش برقرار نیست، این نقض‌کردنِ ادعای جملهٔ داخل گیومه نیست؟ اگر ادعا درست می‌بود پس این مثالِ نقض چرا وجود دارد؟ پس دادنِ مثال نقض هم‌ارز با نادرستی گزاره است.

اکنون وارونِ گزارهٔ شما این است که «هر مجموعه‌ای از عددهای طبیعی که ب.م.م همه‌شان با هم، برابر با ۱ باشد، آنگاه ب.م.م-ِ دو به دوی اعضای این مجموعه نیز ۱ است.»

خب شما یک مجموعه از عددهای طبیعی با ب.م.م-ِ کلیِ ۱ برداشتید، ‌$\lbrace 13, 17, 26\rbrace$. این مجموعه نقشِ «فلان۱» در پاراگراف نخست را دارد، اما تمام انتخاب‌های دوبه‌دوی اعضایش ب.م.م-ِ ۱ ندارد، پس «فلان۲»-ِ پاراگراف نخست برقرار نیست. پس شما یک مثال نقض یافتید و در نتیجه نشان دادید که گزاه‌ٔ بالا که وارونِ گزارهٔ اولیه در پرسش است درست نیست.

---

در دیدگاه زیر گفته‌اید که اثبات گزارهٔ اولیه را نمی‌دانید. فرض کنید چند عدد $a_1$ و $a_2$ و ... و $a_n$ دارید. اگر فرض کنیم که هر دو تای آنها دارای ب.م.م ۱ است، آنگاه یعنی اگر $a_1$ و $a_2$ را بردارم، هیچ عدد طبیعی‌ای غیر از ۱ همزمان آن دو را نمی‌شمارد. به نظر شما زمانی که هیچ عدد غیر از ۱ نمی‌تواند همزمان $a_1$ و $a_2$ را نمی‌شمارد، آیا می‌تواند همزمان این دو و تعداد دیگری عدد را بشمارد؟ در واقع به این نکته توجه کنید که اگر عددی یک مجموعه از عددهای طبیعی را بشمارد، آنگاه هر زیرمجموعه از آنها را نیز می‌شمارد. برای نمونه اگر ۲، ده عدد خاص را بشمارد، این به این معنا نیست که تک تک این ده عدد را می‌شمارد؟ و در نتیجه اگر ۵ عدد دلخواه از این ده عدد را بردارم، هنوز ۲ تمام این ۵ عدد را می‌شمارد، نه؟

Comments

@Amirhosein  ممنون از پاسخ تون.
در واقع سوال این بوده  : آیا ۲گزاره زیر برقرار است؟ چرا؟؟؟
الف) اگر a_i ها دو به دو نسبت به هم اول باشند آنگاه ب.م.م همه ی آنها با هم نیز ، یک است.
ب) اگر ب.م.م (a_1 , a_2 ,.....a_n ) برابر با یک باشد آنگاه a_i ها دو به دو نسبت به هم اول اند .
من برای (ب) مثال نقض ۱۳،۱۷،۲۶ رو زدم. اما الف بنظرم درسته ولی اثباتش نمی دونم چه طوره . اثبات این رو می خواستم. با تشکر. ممنون .

---

@ailin خب بر روی علامت مداد زیر پرسش‌تان کلیک کنید و متن پرسش را طوری بنویسید که مشخص باشد دقیقا کدام بخش را می‌خواهید چون متن کنونی این طور است که پرسش‌تان پیرامون بخش ب است و بخش الف را می‌دانید.

Answer 2

به نام خدا.

اثبات آقای دکتر @AmirHosein خیلی راحت تر از راهی است که در ادامه می آورم.

قضیه ای وجود دارد که بیان می کند:

$(a_1 , a_{2} , a_{3}, ..., a_n)= ((a_1 , a_{2} , ..., a_{n-1}), a_n)$

اکنون از استقرا کمک می گیریم. واضح است که برای $n=2$ حکم برقرار است. حال فرض می کنیم که برای $n=k$ هم برقرار باشد یعنی $(a_1, a_2, ..., a_k)=1$ . اکنون نشان می دهیم که برای $n=k+1$ نیز درست است:

$(a_{1} , a_{2}, ..., a_{k}, a_{k+1})= ((a_{1}, a_2, ..., a_k) ,a _{k+1})= (1, a_{k+1})=1 \Longrightarrow (a_{1} , a_2 ,..., a_{k+1})=1$

پس حکم ثابت شد.

Comments

@Elyas1 صرفا برای کاربرانی که ممکن است ندانند، منظور از $(a,b)$، ب.م.م. دو عدد $a$ و $b$ است. ۱+