اثبات با جدول ارزش گذاری برای «اگر $a$ و $b$ زوج باشند، آنگاه $a+b$ زوج است»، به چه شکلی است؟

Question

در ارتباط با پرسشی که پیش‌تر در سایت پرسیده‌بودم، یعنی https://math.irancircle.com/24935، پرسش زیر مطرح شد که اگر بخواهیم با استفاده از جدولِ ارزش‌گذاری، گزارهٔ «اگر $a$ و $b$ دو عدد زوج باشند، آنگاه مجموع آن‌ها نیز زوج است» را ثابت کنیم، چگونه باید عمل کنیم و این جدول به چه شکل خواهدبود؟

آیا میتوان گفت که جملاتی که دارای ارزش درست هستند دیگر نیازی به اثبات ندارند؟

Comments

مفهوم جمله «میتوان گفت جملاتی که دارای ارزش درست هستند دیگر نیازی به اثبات ندارند؟» ارزش درست باشه دیگر نیاز به اثبات نداره اما ارزش درست یا با اثبات بدست آمده یا  واضح است یا جزوِ فرض می‌باشه. در این صورت ارزش‌گذاری کل عبارت کافی است.

Answer 1

گزارهٔ مورد نظر این است «به ازای هر دو عدد طبیعیِ $a$ و $b$، اگر $a$ زوج باشد و $b$ زوج باشد، آنگاه $a+b$ زوج است.» جدول زیر باید خیلی گویا باشد و احتمالاً نیاز به توضیح خاصی ندارد. «is even» به انگلیسی است و یعنی «زوج است». برای کوتاه‌نویسی «$a$ زوج است»، «$b$ زوج است» و «$a+b$ زوج است» را به ترتیب با $p_1$ و $p_2$ و $p_3$ نامگذاری کردیم. در نتیجه $a$ و $b$ زوج باشند می‌شود $p_1$ و $p_2$ یا همان «$p_1\wedge p_2$» که با $p_4$ نمایش دادیم. و در آخر «اگر $a$ و $b$ زوج باشند، آنگاه $a+b$ زوج است» می‌شود «$p_4\Rightarrow p_3$» که با $p_5$ نمایش دادیم. گزاره‌ای که شما درستیِ آن را می‌خواهید این است:

$$\forall a,b\in\mathbb{N}\;\colon\;p_5$$

برای درستیِ آن باید ثابت کنید که هر انتخابی که برای $a$ و $b$ بکنید، $p_5$ درست است. چه زمانی $p_5$ درست است؟ زمانی که $p_4$ نادرست باشد پس خود به خود اگر انتخابی کردید که حداقل یکی از دو عدد فرد است گزاره درست است، برای همین هم هست که در اثبات‌های استنتاجی فقط حالتی که دو عدد هر دو زوج هستند را برمی‌دارند. و یا اینکه اگر $p_4$ برای دو عدد انتخاب‌شده درست است، آنگاه $p_3$ هم برایشان درست باشد. به هر حال، درست بودن گزارهٔ اصلی که می‌توانید آن را مثلاً $p_6$ بنامید یعنی اینکه ستون مربوط به $p_5$ در جدول ارزشیِ زیر برای همهٔ ردیف‌ها درست باشد. که خب چون شما نمی‌توانید یک جدول بینهایت‌ردیف‌دار بکشید و تک تکِ انتخاب‌های ممکن از $\mathbb{N}^2$ را دستی یکی یکی حساب کنید، رو به اثبات استنتاجی می‌آورید که چیزی نیست به جز ساده و کوتاه بیان کردنِ چیزی که در چند تعداد متناهی ردیف از جدول زیر در حال مشاهده هستید. گاهی ریاضی هنرِ نقاشی‌کردن بینهایت‌ها در یک میزان متناهی فضا بر روی صفحه است. واقعا چه نیازی است که تک تکِ عددها را برای $a$ برداریم زمانی که همه چیز مربوط به این گزاره تنها با دو دستهٔ «زوج» و «فرد» برای $a$ قابلِ بحث است.

$$\begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l} a & p_1\colon a\text{ is even} & b & p_2\colon b\text{ is even} & a+b & p_3\colon a+b\text{ is even} & p_4\colon p_1\wedge p_2 & p_5\colon p_4\Rightarrow p_3\\ \hline 1 & F & 1 & F & 2 & T & F & T\\ \hline 1 & F & 2 & T & 3 & F & F & T\\ \hline 1 & F & 3 & F & 4 & T & F & T\\ \hline 1 & F & 4 & T & 5 & F & F & T\\ \hline \vdots & & \vdots & & & & & \\ \hline 2 & T & 1 & F & 3 & F & F & T\\ \hline 2 & T & 2 & T & 4 & T & T & T\\ \hline 2 & T & 3 & F & 5 & F & F & T\\ \hline 2 & T & 4 & T & 6 & T & T & T\\ \hline \vdots & & \vdots & & & & & \\ \end{array}$$

Comments

ممنونم از وقتی که گذاشتید