ثابت کنید که برای هر دو عدد حقیقیِ $a$ و $b$ که $a>1$، تابعِ $f(x)=a^x+b$ یک تابع یک به یک است.

Question

از طریق اصول و قضایای ریاضی ثابت کنید تابع نمایی بعلاوهٔ یک ثابت، یعنی $f(x)=a^x+b$ که $a$ و $b$ دو عدد حقیقیِ ثابت با شرطِ $a>1$ هستند، یک‌به‌یک است.

خودم تونستم اثبات کنم اگر داشته‌باشیم $a>1$ و $f(x)=a^x+b$، آنگاه به ازای هر $n$ طبیعی داریم:

$f(x+\frac{1}{n})\gt f(x)$

اما مشکل اینجاست که این لزوما به معنای صعودی بودن تابع نیست زیرا فاصله دو عدد دلخواه $a$ و $b$ $(a\gt b)$ را لزوما نمی‌توان به صورت مجموعی از $\frac{1}{n}$ ها نوشت و نتیجه گرفت $f(a)\gt f(b)$ .

Comments

@moh_amin خط آخر از لحاظ ریاضی درست نیست. ماکزیمم و می نییمم بازه باز وجود ندارد.

---

@amir7788
بابت دیدگاهتون متشکرم
منظور از max(a,b) بزرگترین عدد بین a و b ( و نه بازه بین آنها ) میباشد برای مثال max(7,2)=7
اما اجازه بدید برای جلوگیری از گمراهی مجدد صورت سوال رو ویرایش کنم

---

اثبات صعودی تابع نمایی به صورتهای مختلف می توان ثابت کرد اما برای نشان دادن یک به یک بودن تابع، مستقیما از تعریف آن می توان نشان داد. البته باشرط پیوستگی تابع و شرط ایجاد شده در راه حل هم می توان صعودی بودن تابع را نتیجه گرفت.

---

حق با شماست
گرچه منظورم اثبات کردن اکیدا صعودی بودن تابع است که به واژه اکید اشاره نکردم اما در آن صورت قادریم با استفاده از تعریف یک به یک بودن آن را نیز ثابت کرد.

Answer 1

برای اثبات یک به یک بودن تابع کافیست نشان دهیم.

$f(x)=f(y)~(\rm I) \iff x=y~(\rm II)$

داریم :

$f(x)= f(y) $

$a^x+b=a^y+b \implies a^x=a^y $

و با توجه به تعریف $a\ne ±1,0 $ $\Leftarrow$ $x=y$

چون با فرض $\rm I$ به $\rm II $ رسیدیم، پس یعنی تابع یک به یک است. $\blacksquare$

Comments

از پاسختون متشکرم
اونجایی که اشاره کردید
a برابر 1 و -1 و 0 نیست و نتیجه گرفتید x=y فکر میکنم نیاز به اثبات داره. در حقیقت اصلی ترین بخش اثبات همینه

---

@moh_amin
 
این شرایط برای a رو برای تابع نمایی درنظر میگیرن. چرا ؟$f(x)=1^x+b =b+1$ که یک تابع ثابته. یا $f(x)=0^x+b=b \quad (\forall x \in \Bbb R^+)$ در غیر اینصورت تعریف نمیشود. برای $-1$هم $f(x)=(-1)^x+b$:

$f(x)=\begin{cases}b-1 & x \equiv 1 \mod 2\\b+1 & x \equiv 0 \mod 2\end{cases} \\(\forall x \in \Bbb Z)$

که دو تابع ثابت فقط در دامنه اعداد صحیح هستند.

Answer 2

طبق تعریف تابع یک به یک بازای هر $x$و$y$ متعلق به دامنه اگر داشته باشیم$$a^x+b=a^y+b$$ باید داشته باشیم $$x=y$$ داریم$$a^x+b=a^y+b$$با حذف $b$ از طرفین $$a^x=a^y$$ طبق برابری دو عدد تواندار خواهیم داشت $$x=y$$