$y=\begin{cases}f_{2 }(x)=(\frac{1}{2}+k)x & 2 \leq x< 3\\f_{1 }(x)=(1+k)x & 1 \leq x< 2\end{cases} $
$$\begin{array}{c|lcr}
x&&&\text{-1}&\text{}&&-\frac 1 2&\\
\hline
1+k&&-&0&&+&&+\\
\frac 1 2+k&&-&&&-&0&+\\
\end{array}$$
اگر$k< -1$ درنتیجه$ \begin{cases}R_{ f_{1 }}=(2k+2,1+k] & \\R_{ f_{2 }}=( \frac{3}{2} +3k,2k+1]
\end{cases} $
چون $2k+1< 2k+2$ درنتیجه $R_{ f_{2 }} \bigcap R_{ f_{1 }}= \phi $ و لذا یک به یک است.
یااگر
$-1< k< -\frac{1}{2} \Rightarrow f_{2}(x)< 0< f_{1 }(x)$
لذا در این حدود نیز یک به یک است
یااگر $k>-\frac{1}{2}$ در نتیجه
$ \begin{cases}R_{ f_{1 }}=[1+k , 2k+2) & \\R_{ f_{2 }}=[2k+1 , \frac{3}{2} +3k)
\end{cases} $
باتوجه به ابتدا و انتهای دو بازه برای اینکه یک به یک باشد باید $ \frac{3}{2} +3k \leq 1+k \Rightarrow k \leq \frac{-1}{4} $
باتوجه به اشتراک در حدود $-\frac{1}{2}< k \leq -\frac{1}{4}$ نیز یک به یک خواهد بود . با توجه به اجتماع هرسه قسمت برای $\color{red}{k \leq -\frac{1}{4}}$ بجز
$\color{red}{k=-\frac{1}{2}و k=-1}$ این تابع یک به یک خواهد بود.
