مجهول های $a$ و $b$ و $c$ را چنان بیابید که $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+3}$ برابر تابع همانی شود.

Question

در نمونه سوال امتحانیِ معلم‌مان این سوال آمده‌است:

تابع $f(x)=\frac{ax^2+bx+c}{x+3}$ را در نظر بگیرید، $a$ و $b$ و $c$ را چنان بیابید که $f$ تابع همانی باشد.

تابع f x را در نظر بگیرید سپس a , b , c را چنان بیابید که f تابعی همانی شود.

Answer 1

سلام. پاسخ آقای @erfanm پاسخ بسیار خوبی است و من هم اگر بخواهم این سوال را در حالی که اولین باری باشد که با آن مواجه میشوم حل کنم، از روش ایشان استفاده میکنم. اما صرفا برای اینکه یک جور دیگر(!) هم فکر کنیم، با یک روش دیگر این سوال را حل میکنم.(دوباره میگویم که روش @erfanm بهتر از این روش است) خب همانطور که از قبل میدانیم، تابع همانی یعنی $y=x$ . پس درمیابیم که عامل $x+3$ در مخرج کسر باید نابود(!) گردد. برای این کار ما باید یک عامل $x+3$ در صورت کسر ایجاد کنیم. خب ابتدا لازم است بگویم که: $a$ برابر1 است. اثبات این گزاره به شرح زیر است:

فرض میکنیم $a$ برابر 1 نباشد. در این صورت وقتی عامل $x+3$ را در صورت ایجاد کردیم، صورت کسر به شکل $$(x+3)(ax+چیزی)$$ در میاید که اگر $x+3$ صورت و مخرج را با هم ساده کنیم به صورت $$(ax+چیزی)$$ در میاید که حتی اگر (چیزی) هم برابر صفر باشد باز به صورت $ax$ در میاید و اگر $a$ برابر 1 نباشد آن وقت تابع همانی نمیشود. پس تا اینجا نتیجه میگیریم که: $$a=1$$ خب حالا که از شر $a$ راحت شدیم(!) باید برویم سراغ ایجاد عامل $x+3$ در صورت.

فرض میکنیم دو عدد وجود دارند که حاصل ضرب آنها برابر $c$ و حاصل جمع آنها برابر $b$ میشود. این دو عدد را m و n در نظر میگیریم. پس: $$b=m+n$$ و $$c=mn$$ حالا میتوانیم تابع را به صورت $$y=\frac{(x+n)(x+m)}{x+3}$$ بنویسیم. خب از آنجایی که باید عامل $x+3$ در صورت وجود داشته باشد، پس حداقل یکی از اعداد $m$ و $n$ برابر 3 است. خب ما فرض میکنیم $m=3$ باشد پس از اینکه با مخرج ساده شود، برای ما میماند: $$x+n$$ که مثل روز روشن است که باید $n=0$ باشد. حالا طبق آن چیزی که در بالا فرض کردیم $$b=m+n$$ در نتیجه $$b=3$$ و هم چنین فرض کردیم که $$c=mn$$ در نتیجه $$c=0$$

پس $$a=1 , b=3 , c=0$$ میباشد.

Answer 2

تابع همانی یعنی$y=x$ پس کافیست تابع صورت سوال رو با این تابع برابر قرار دهیم و با طرفین وسطین کردن و مقایسه ضرایب مجهول ها رو پیدا کنیم: $$\frac{ax^2+bx+c}{x+3} =x \Rightarrow ax^2+bx+c=x^2+3x$$ با مقایسه نتیجه میگیریم که $a=1$ و $b=3$ و $c=0$ است. هر چند شرط $x \neq -3$ را هم باید ذکر کنیم. چون کسری که داده شده در این نقطه تعریف نشده است.

Comments

سلام
ممنون
اصلاح شد.

---

@Ali mori
راه حل راحت تر این است که چند تا عدد بدهید.مثلا (1،1) و (2،2) و (4،4) را بدهید و جواب هارا به دست آورید.

---

@aaa البته از دید محاسباتی ساده‌تر نمی‌شود چون تعداد عمل‌های محاسبه‌ای که رایانه باید انجام دهد در روش شما چند عدد بیشتر از راه‌حل @erfanm است البته نه آنقدر که تأثیر خاصی در سرعت با احتساب رایانه‌های امروزی داشته‌باشد. ولی برای یک تابع با ضابطهٔ پیچیده ممکن است روش شما از نظر محاسبات symbolic ساده‌تر باشد. از نظر پیاده‌سازی بستگی به تابع‌های هدف دارد. به هر حال، در صورت تمایل می‌توانید به عنوان روش دیگر به شکل پاسخ بفرستید.

---

@AmirHosein فکر کنم میخواستید برای @aaa دیدگاه بگذارید ولی برای @Ali_mori دیدگاه گذاشته‌اید

---

@Sina_Moradi بلی، تصحیح شد.