تابع $f(x)$ را چنان بیابید که در $f(2x)=f^2(x)$ صدق کند اما به شکل $f(x)=e^{ax}$ که $a$ عدد حقیقیای باشد نوشته نشود.

Question

آیا تابعِ نانمایی (غیرِنمایی) $f(x)$ای می‌توان یافت که در رابطهٔ زیر صدق کند؟

$$f(2x)=f^2(x)$$ نانمایی یعنی به شکلِ $f(x)=e^{ax}$ که $a$ عدد حقیقی‌ای است نباشد.

ویرایش پس از دریافت پاسخ‌های به شکل تابع ثابت:

با سپاس از کاربرانی که مثال تابع ثابت زدند، آیا تابع ناثابتی (غیرثابت) هم می‌توان پیدا کرد؟

Comments

حال اگر تابع ثابت نباشد چه جوابی دارد؟

---

ببخشدید سوال رو تصحیح کردم

Answer 1

چون هیچ فرضی همچون پیوستگی یا مشتق‌پذیری و غیره روی تابع $f$ نگذاشته‌اید، مثال بدیهی زیر را می‌توان ارائه کرد.

$$f(x)=\left\lbrace\begin{array}{ll} 0 & ;\;x\in\mathbb{Q}\\ 1 & ;\;x\not\in\mathbb{Q} \end{array}\right.$$ توجه کنید که $$x\in\mathbb{Q}\Longleftrightarrow 2x\in\mathbb{Q}$$ پس $$\begin{array}{l} x\in\mathbb{Q}\Longrightarrow f(2x)=f^2(x)=0\\ x\not\in\mathbb{Q}\Longrightarrow f(2x)=f^2(x)=1 \end{array}$$ این تابع نه تابع ثابت است و نه $a\in\mathbb{R}$ای یافت می‌شود که برابر با $f(x)=e^{ax}$ شود.

Answer 2

برای تابع‌های ثابت $f(x) = 1$ و $f(x) = 0$ برقرار می‌باشد.

Answer 3

تابع زیر را در نظر بگیرید :

$$f:\mathbb{R} \to \{0\} \\f(x):=0$$

در نتیجه ویژگی زیر را دارا میباشد :

$$f(2x)=f^2(x)\\$$