نقاط بحرانی تابع $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx$ را بیابید و انتگرال $\int_{-\infty}^\infty f(x)dx$ را محاسبه کنید.

Question

نقاط بحرانی و اکسترمم تابع $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx$ را به دست آورده و انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx$$

Comments

افشین جان سعی کن سوال رو تایپ کنی تا هم زیباتر باشه هم تمرینیه برای خودت.

---

دقیقا. اینطوری کاربرهای دیگه به جای اینکه سوالتو ویرایش کنن میتونن به جواب دادن به سوال فکر کنن.
و لطفا کوشش خودتو برای حل مساله بنویس.

---

نقاط بحرانی و نقطه ماکسیمم فقط 0 میشه.

Answer 1

تابع داده شده در تمام نقاط مشتق پذیر است لذا نقاط بحرانی نقاطی می شوند که مشتق در آنها صفر است لذا با مشتق گیری فقط نقطه صفر رو داریم اما انتگرال:

قرار میدهیم $I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx$ وبا محاسبه ی آن جواب سوال بدست می آید داریم$I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx$و $I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12y^2}dy$لذا می توان نوشت: $$ \begin{align} I^{2} &=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx \times \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12y^2}dy \\ &= \int\int_{ R^{2} } e^{-\frac 12(x^2+y^2)}d(x,y) \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdrd \theta \\&=2\pi \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdr\\ \end{align}$$

حال از تغییر متغییر $s=-\frac 12(r^2) $ داریم:

$$ \begin{align} I^{2}&=2\pi \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdr \\ &=2\pi \int_{0}^\infty -e^{s}ds \\ &=2\pi\\ \end{align}$$

پس مقدار $I $ برابر $\sqrt{2 \pi }$ است لذا مقدار انتگرال خواسته شده برابر $1 $ است.

Comments

بدون انتگرال دوگانه هم میشه نوشتش؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

---

روش دیگری هم برای محاسبش هست اما اون هم با استفاده از انتگرال دوگانه است. البته میتوان با تغییر متغییر اونو به تابع گاما تبدیل کنیم و فرمول محاسبه تابع گاما رو بلدیم. و از طریق آن جوابو بدست بیاوریم