به محفل ریاضی ایرانیان خوش آمدید! لطفا برای استفاده از تمامی امکانات عضو شوید
سایت پرسش و پاسخ ریاضی
+2 امتیاز
431 بازدید
در دبیرستان و دانشگاه توسط AQSHIN (280 امتیاز)
ویرایش شده توسط AmirHosein

نقاط بحرانی و اکسترمم تابع $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx$ را به دست آورده و انتگرال زیر را محاسبه کنید.

$$\int_{-\infty}^\infty\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}dx$$
توسط erfanm (13,764 امتیاز)
+2
افشین جان سعی کن سوال رو تایپ کنی تا هم زیباتر باشه هم تمرینیه برای خودت.
توسط fardina (17,196 امتیاز)
+3
دقیقا. اینطوری کاربرهای دیگه به جای اینکه سوالتو ویرایش کنن میتونن به جواب دادن به سوال فکر کنن.
و لطفا کوشش خودتو برای حل مساله بنویس.
توسط zh (1,176 امتیاز)
+1
نقاط بحرانی و نقطه ماکسیمم فقط 0 میشه.

1 پاسخ

+1 امتیاز
توسط erfanm (13,764 امتیاز)
انتخاب شده توسط AmirHosein
 
بهترین پاسخ

تابع داده شده در تمام نقاط مشتق پذیر است لذا نقاط بحرانی نقاطی می شوند که مشتق در آنها صفر است لذا با مشتق گیری فقط نقطه صفر رو داریم اما انتگرال:

قرار میدهیم $I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx$ وبا محاسبه ی آن جواب سوال بدست می آید داریم$I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx$و $I =\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12y^2}dy$لذا می توان نوشت: $$ \begin{align} I^{2} &=\int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12x^2}dx \times \int_{-\infty}^\infty e^{-\frac 12y^2}dy \\ &= \int\int_{ R^{2} } e^{-\frac 12(x^2+y^2)}d(x,y) \\ &= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdrd \theta \\&=2\pi \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdr\\ \end{align}$$

حال از تغییر متغییر $s=-\frac 12(r^2) $ داریم:

$$ \begin{align} I^{2}&=2\pi \int_{0}^\infty e^{-\frac 12(r^2)}rdr \\ &=2\pi \int_{0}^\infty -e^{s}ds \\ &=2\pi\\ \end{align}$$

پس مقدار $I $ برابر $\sqrt{2 \pi }$ است لذا مقدار انتگرال خواسته شده برابر $1 $ است.

توسط AQSHIN (280 امتیاز)
ویرایش شده توسط admin
+1

بدون انتگرال دوگانه هم میشه نوشتش؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

توسط erfanm (13,764 امتیاز)
+1
روش دیگری هم برای محاسبش هست اما اون هم با استفاده از انتگرال دوگانه است. البته میتوان با تغییر متغییر اونو به تابع گاما تبدیل کنیم و فرمول محاسبه تابع گاما رو بلدیم. و از طریق آن جوابو بدست بیاوریم

حمایت مالی

کانال تلگرام محفل ریاضی
امروز : تاریخ شمسی اینجا نمایش داده می‌شود
...